Algebra Beispiele

$\frac{x}{x + 1} - \frac{x + 1}{x}$

Schritt 1

Um $\frac{x}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x + 1}{x}$

Schritt 2

Um $- \frac{x + 1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 1}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 1) x} - \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{x}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 1) x} - \frac{(x + 1) (x + 1)}{x (x + 1)}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(x + 1) x$ um.

$\frac{x \cdot x}{x (x + 1)} - \frac{(x + 1) (x + 1)}{x (x + 1)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot x - (x + 1) (x + 1)}{x (x + 1)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x - (x + 1) (x + 1)}{x (x + 1)}$

Schritt 5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} - (x + 1) (x + 1)}{x (x + 1)}$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 1} - (x + 1) (x + 1)}{x (x + 1)}$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 1) (x + 1)}{x (x + 1)}$

Schritt 5.5

Schreibe $(x + 1) (x + 1)$ als ${(x + 1)}^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - {(x + 1)}^{2}}{x (x + 1)}$

Schritt 5.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = x + 1$ .

$\frac{(x + x + 1) (x - (x + 1))}{x (x + 1)}$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - (x + 1))}{x (x + 1)}$

Schritt 5.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 1) (x - x - 1 \cdot 1)}{x (x + 1)}$

Schritt 5.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - x - 1)}{x (x + 1)}$

Schritt 5.7.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{(2 x + 1) (0 - 1)}{x (x + 1)}$

Schritt 5.7.5

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot - 1}{x (x + 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $2 x + 1$ .

$\frac{- 1 \cdot (2 x + 1)}{x (x + 1)}$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x + 1}{x (x + 1)}$