Algebra Beispiele

$\ln (x) - (\ln (x + 1) + \ln (x - 1))$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x) - \ln ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x) - \ln (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x) - \ln (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x) - \ln (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x) - \ln (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (x) - \ln (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (x) - \ln (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (x) - \ln (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (x) - \ln (x^{2} - x + x - 1)$

Schritt 1.3.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\ln (x) - \ln (x^{2} + 0 - 1)$

Schritt 1.3.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\ln (x) - \ln (x^{2} - 1)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (\frac{x}{x^{2} - 1^{2}})$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$