Algebra Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 25$ $y^{2} = x + 5$

Schritt 1

Löse in $y^{2} = x + 5$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{x + 5}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 1.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{x + 5}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 1.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{x + 5}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 1.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x + 5}$

$y = - \sqrt{x + 5}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

$y = \sqrt{x + 5}$

$y = - \sqrt{x + 5}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

$y = \sqrt{x + 5}$

$y = - \sqrt{x + 5}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 2

Löse das System $y = \sqrt{x + 5}, x^{2} + y^{2} = 25$ .

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Schritt 2.1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\sqrt{x + 5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} = 25$ durch $\sqrt{x + 5}$ .

$x^{2} + {(\sqrt{x + 5})}^{2} = 25$

$y = \sqrt{x + 5}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

$x^{2} + x + 5 = 25$

$y = \sqrt{x + 5}$

$x^{2} + x + 5 = 25$

$y = \sqrt{x + 5}$

$x^{2} + x + 5 = 25$

$y = \sqrt{x + 5}$

Schritt 2.2

Löse in $x^{2} + x + 5 = 25$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x + 5 - 25 = 0$

$y = \sqrt{x + 5}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $25$ von $5$ .

$x^{2} + x - 20 = 0$

$y = \sqrt{x + 5}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $x^{2} + x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $1$ ist.

$- 4, 5$

$y = \sqrt{x + 5}$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

$y = \sqrt{x + 5}$

$(x - 4) (x + 5) = 0$

$y = \sqrt{x + 5}$

Schritt 2.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

$y = \sqrt{x + 5}$

Schritt 2.2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$y = \sqrt{x + 5}$

Schritt 2.2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

$y = \sqrt{x + 5}$

$x = 4$

$y = \sqrt{x + 5}$

Schritt 2.2.6

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.6.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

$y = \sqrt{x + 5}$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

$y = \sqrt{x + 5}$

$x = - 5$

$y = \sqrt{x + 5}$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 5$

$y = \sqrt{x + 5}$

$x = 4, - 5$

$y = \sqrt{x + 5}$

Schritt 2.3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Ersetze alle $x$ in $y = \sqrt{x + 5}$ durch $4$ .

$y = \sqrt{(4) + 5}$

$x = 4$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{(4) + 5}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Addiere $4$ und $5$ .

$y = \sqrt{9}$

$x = 4$

Schritt 2.3.2.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \sqrt{3^{2}}$

$x = 4$

Schritt 2.3.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Schritt 2.4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Ersetze alle $x$ in $y = \sqrt{x + 5}$ durch $- 5$ .

$y = \sqrt{(- 5) + 5}$

$x = - 5$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{(- 5) + 5}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$y = \sqrt{0}$

$x = - 5$

Schritt 2.4.2.1.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \sqrt{0^{2}}$

$x = - 5$

Schritt 2.4.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

Schritt 3

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(4, 3)$

$(- 5, 0)$

$(4, - 3)$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(4, 3), (- 5, 0), (4, - 3)$

Gleichungsform:

$x = 4, y = 3$

$x = - 5, y = 0$

$x = 4, y = - 3$

Schritt 5