Algebra Beispiele

$\log_{2} (2 x) + \log_{2} (x - 7) = \log_{2} (4 x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (2 x (x - 7)) = \log_{2} (4 x)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7) = \log_{2} (4 x)$

Schritt 1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Bewege $x$ .

$\log_{2} (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7) = \log_{2} (4 x)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{2} (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7) = \log_{2} (4 x)$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$\log_{2} (2 x^{2} - 14 x) = \log_{2} (4 x)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$2 x^{2} - 14 x = 4 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 14 x - 4 x = 0$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 14 x$ .

$2 x^{2} - 18 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2} - 18 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 x (x) - 18 x = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 18 x$ heraus.

$2 x (x) + 2 x (- 9) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x) + 2 x (- 9)$ heraus.

$2 x (x - 9) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 9 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x - 9) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 9$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} (2 x) + \log_{2} (x - 7) = \log_{2} (4 x)$ nicht erfüllen.

$x = 9$