Algebra Beispiele

$4^{x} = 5^{x^{2}}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (4^{x}) = \ln (5^{x^{2}})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (4^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (4) = \ln (5^{x^{2}})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (5^{x^{2}})$ durch Herausziehen von $x^{2}$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (4) = x^{2} \ln (5)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x^{2} \ln (5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (4) - x^{2} \ln (5) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (4) - x^{2} \ln (5)$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (4)$ heraus.

$x (\ln (4)) - x^{2} \ln (5) = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (4)) + x (- x \ln (5)) = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (4)) + x (- x \ln (5))$ heraus.

$x (\ln (4) - x \ln (5)) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$\ln (4) - x \ln (5) = 0$

Schritt 4.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.5

Setze $\ln (4) - x \ln (5)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $\ln (4) - x \ln (5)$ gleich $0$ .

$\ln (4) - x \ln (5) = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $\ln (4) - x \ln (5) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $\ln (4)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x \ln (5) = - \ln (4)$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \ln (5) = - \ln (4)$ durch $- \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \ln (5) = - \ln (4)$ durch $- \ln (5)$ .

$\frac{- x \ln (5)}{- \ln (5)} = \frac{- \ln (4)}{- \ln (5)}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (4)}{- \ln (5)}$

Schritt 4.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (4)}{- \ln (5)}$

Schritt 4.5.2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{- \ln (5)}$

Schritt 4.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (\ln (4) - x \ln (5)) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 0, 0.86135311 \dots$