Algebra Beispiele

$| x + 3 | - 1 = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$| x + 3 | - 1 = 0 + 0 + {(x + 2)}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$| x + 3 | - 1 = (x + 2) (x + 2)$

Schritt 1.3

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| x + 3 | - 1 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| x + 3 | - 1 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$| x + 3 | - 1 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 1.4.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Schritt 1.4.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $| x + 3 |$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$| x + 3 | = x^{2} + 4 x + 4 + 1$

Schritt 2.2

Addiere $4$ und $1$ .

$| x + 3 | = x^{2} + 4 x + 5$

Schritt 3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x + 3 = \pm (x^{2} + 4 x + 5)$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + 3 = x^{2} + 4 x + 5$

Schritt 4.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 4 x + 5 = x + 3$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x + 5 - x = 3$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $x$ von $4 x$ .

$x^{2} + 3 x + 5 = 3$

Schritt 4.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 3 x + 5 - 3 = 0$

Schritt 4.5

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

Schritt 4.6

Faktorisiere $x^{2} + 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $3$ ist.

$1, 2$

Schritt 4.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) (x + 2) = 0$

Schritt 4.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 4.8

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.9

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.9.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.9.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 2$

Schritt 4.11

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + 3 = - (x^{2} + 4 x + 5)$

Schritt 4.12

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- (x^{2} + 4 x + 5) = x + 3$

Schritt 4.13

Vereinfache $- (x^{2} + 4 x + 5)$ .

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Schritt 4.13.1

Forme um.

$0 + 0 - (x^{2} + 4 x + 5) = x + 3$

Schritt 4.13.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- (x^{2} + 4 x + 5) = x + 3$

Schritt 4.13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 5 = x + 3$

Schritt 4.13.4

Vereinfache.

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Schritt 4.13.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- x^{2} - 4 x - 1 \cdot 5 = x + 3$

Schritt 4.13.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- x^{2} - 4 x - 5 = x + 3$

Schritt 4.14

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.14.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} - 4 x - 5 - x = 3$

Schritt 4.14.2

Subtrahiere $x$ von $- 4 x$ .

$- x^{2} - 5 x - 5 = 3$

Schritt 4.15

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.15.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} - 5 x - 5 - 3 = 0$

Schritt 4.15.2

Subtrahiere $3$ von $- 5$ .

$- x^{2} - 5 x - 8 = 0$

Schritt 4.16

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.17

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 5$ und $c = - 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.18

Vereinfache.

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Schritt 4.18.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.18.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.18.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Schritt 4.18.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.18.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.18.1.3

Subtrahiere $32$ von $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.18.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.18.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.18.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.18.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{- 2}$

Schritt 4.18.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.19

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}, - \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.20

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = - 1, - 2, - \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}, - \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$