Algebra Beispiele

$- \frac{1}{4} x^{2} + 4 x + 1 \geq 1$

Schritt 1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$ mit $4$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$ mit $4$ .

$- \frac{x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Schritt 2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- x^{2} + 16 x + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- x^{2} + 16 x + 4 \geq 1 \cdot 4$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- x^{2} + 16 x + 4 \geq 4$

Schritt 3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} + 16 x + 4 = 4$

Schritt 4

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 16 x + 4 - 4 = 0$

Schritt 5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x^{2} + 16 x + 4 - 4$ .

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Schritt 5.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$- x^{2} + 16 x + 0 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $- x^{2} + 16 x$ und $0$ .

$- x^{2} + 16 x = 0$

Schritt 6

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{2} + 16 x$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- x \cdot x + 16 x = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $- x$ aus $16 x$ heraus.

$- x \cdot x - x \cdot - 16 = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x) - x (- 16)$ heraus.

$- x (x - 16) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 16 = 0$

Schritt 8

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 9

Setze $x - 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x - 16$ gleich $0$ .

$x - 16 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 16$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x (x - 16) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 16$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 16$

$x > 16$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 1 \geq 1$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $- 8$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 16$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 16$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{1}{4} \cdot {(2)}^{2} + 4 (2) + 1 \geq 1$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $8$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 16$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 16$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 18$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $18$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{1}{4} \cdot {(18)}^{2} + 4 (18) + 1 \geq 1$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 8$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 16$ Wahr

$x > 16$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 16$ Wahr

$x > 16$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq 16$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 \leq x \leq 16$

Intervallschreibweise:

$[0, 16]$

Schritt 15