Algebra Beispiele

$\frac{5 x}{4 x + 40} + \frac{x + 100}{6} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{5 x}{4 x + 40} + \frac{x + 100}{6}$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 40$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{5 x}{4 (x) + 40} + \frac{x + 100}{6} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$\frac{5 x}{4 x + 4 \cdot 10} + \frac{x + 100}{6} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot 10$ heraus.

$\frac{5 x}{4 (x + 10)} + \frac{x + 100}{6} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.2

Um $\frac{5 x}{4 (x + 10)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 x}{4 (x + 10)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x + 100}{6} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.3

Um $\frac{x + 100}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 (x + 10)}{2 (x + 10)}$ .

$\frac{5 x}{4 (x + 10)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x + 100}{6} \cdot \frac{2 (x + 10)}{2 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12 (x + 10)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{5 x}{4 (x + 10)}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 x \cdot 3}{4 (x + 10) \cdot 3} + \frac{x + 100}{6} \cdot \frac{2 (x + 10)}{2 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{5 x \cdot 3}{12 (x + 10)} + \frac{x + 100}{6} \cdot \frac{2 (x + 10)}{2 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $\frac{x + 100}{6}$ mit $\frac{2 (x + 10)}{2 (x + 10)}$ .

$\frac{5 x \cdot 3}{12 (x + 10)} + \frac{(x + 100) (2 (x + 10))}{6 (2 (x + 10))} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{5 x \cdot 3}{12 (x + 10)} + \frac{(x + 100) (2 (x + 10))}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 x \cdot 3 + (x + 100) (2 (x + 10))}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15 x + (x + 100) \cdot 2 (x + 10)}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 x + (x \cdot 2 + 100 \cdot 2) (x + 10)}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{15 x + (2 \cdot x + 100 \cdot 2) (x + 10)}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.6.4

Mutltipliziere $100$ mit $2$ .

$\frac{15 x + (2 \cdot x + 200) (x + 10)}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.6.5

Multipliziere $(2 x + 200) (x + 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 x + 2 x (x + 10) + 200 (x + 10)}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 10 + 200 (x + 10)}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 10 + 200 x + 200 \cdot 10}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{15 x + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 10 + 200 x + 200 \cdot 10}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.6.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{15 x + 2 x^{2} + 2 x \cdot 10 + 200 x + 200 \cdot 10}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.6.6.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{15 x + 2 x^{2} + 20 x + 200 x + 200 \cdot 10}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.6.6.1.3

Mutltipliziere $200$ mit $10$ .

$\frac{15 x + 2 x^{2} + 20 x + 200 x + 2000}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.6.6.2

Addiere $20 x$ und $200 x$ .

$\frac{15 x + 2 x^{2} + 220 x + 2000}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.6.7

Addiere $15 x$ und $220 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 235 x + 2000}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 100}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{2 x^{2} + 235 x + 2000}{12 (x + 10)} = \frac{30}{x^{2} - 10^{2}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$\frac{2 x^{2} + 235 x + 2000}{12 (x + 10)} = \frac{30}{(x + 10) (x - 10)}$

Schritt 3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 9.33086437, 10.07874588$

Schritt 4