Algebra Beispiele

$- \frac{128}{27}$ , $\frac{32}{9}$ , $- \frac{8}{3}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $- \frac{3}{4}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = - \frac{3}{4}$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = - \frac{128}{27}$ und $r = - \frac{3}{4}$ ein.

$a_{n} = - \frac{128}{27} {(- \frac{3}{4})}^{n - 1}$

Schritt 4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{4}$ an.

$a_{n} = - \frac{128}{27} ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n - 1})$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$a_{n} = - \frac{128}{27} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}})$

Schritt 5

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{n - 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege ${(- 1)}^{n - 1}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot - 1 \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{n - 1}$ mit $- 1$ .

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Schritt 5.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Schritt 5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Schritt 5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $n - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n + 0} \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Schritt 5.3.2

Addiere $n$ und $0$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Schritt 6

Kombiniere ${(- 1)}^{n}$ und $\frac{128}{27}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot 128}{27} \cdot \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Schritt 7

Kombinieren.

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot 128 \cdot 3^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus ${(- 1)}^{n}$ heraus.

$a_{n} = \frac{- {(- 1)}^{n - 1} \cdot 128 \cdot 3^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Schritt 8.2

Schreibe $- {(- 1)}^{n - 1}$ als $- 1 {(- 1)}^{n - 1}$ um.

$a_{n} = \frac{- 1 {(- 1)}^{n - 1} \cdot 128 \cdot 3^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Schritt 8.3

Schreibe $3^{n - 1} {(- 1)}^{n - 1}$ als ${(3 \cdot - 1)}^{n - 1}$ um.

$a_{n} = \frac{- 1 {(3 \cdot - 1)}^{n - 1} \cdot 128}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $128$ mit $- 1$ .

$a_{n} = \frac{- 128 {(3 \cdot - 1)}^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$a_{n} = \frac{- 128 {(- 3)}^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a_{n} = - \frac{128 {(- 3)}^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Schritt 11

Setze den Wert von $n$ ein, um den $n$ . Term zu ermitteln.

$a_{4} = - \frac{128 {(- 3)}^{(4) - 1}}{27 \cdot 4^{(4) - 1}}$

Schritt 12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$a_{4} = - \frac{128 {(- 3)}^{3}}{27 \cdot 4^{4 - 1}}$

Schritt 12.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$a_{4} = - \frac{128 \cdot - 27}{27 \cdot 4^{4 - 1}}$

Schritt 13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$a_{4} = - \frac{128 \cdot - 27}{27 \cdot 4^{3}}$

Schritt 13.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$a_{4} = - \frac{128 \cdot - 27}{27 \cdot 64}$

Schritt 14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $128$ mit $- 27$ .

$a_{4} = - \frac{- 3456}{27 \cdot 64}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $27$ mit $64$ .

$a_{4} = - \frac{- 3456}{1728}$

Schritt 14.3

Dividiere $- 3456$ durch $1728$ .

$a_{4} = 2$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$a_{4} = 2$