Algebra Beispiele

$\frac{2}{x} + \frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Schritt 1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $\frac{(x - 1) (x^{2} - x)}{(x - 1) (x^{2} - x)}$ .

$\frac{2}{x} \cdot \frac{(x - 1) (x^{2} - x)}{(x - 1) (x^{2} - x)} + \frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $\frac{(x - 1) (x^{2} - x)}{(x - 1) (x^{2} - x)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{x - 1}$ mit $\frac{x (x^{2} - x)}{x (x^{2} - x)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x (x^{2} - x)}{x (x^{2} - x)} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $\frac{3}{x - 1}$ mit $\frac{x (x^{2} - x)}{x (x^{2} - x)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{(x - 1) (x (x^{2} - x))} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{4}{x^{2} - x}$ mit $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{(x - 1) (x (x^{2} - x))} - (\frac{4}{x^{2} - x} \cdot \frac{x (x - 1)}{x (x - 1)})$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $\frac{4}{x^{2} - x}$ mit $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{(x - 1) (x (x^{2} - x))} - \frac{4 (x (x - 1))}{(x^{2} - x) (x (x - 1))}$

Schritt 1.7

Stelle die Faktoren von $x ((x - 1) (x^{2} - x))$ um.

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{(x - 1) (x (x^{2} - x))} - \frac{4 (x (x - 1))}{(x^{2} - x) (x (x - 1))}$

Schritt 1.8

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x (x^{2} - x))$ um.

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} - \frac{4 (x (x - 1))}{(x^{2} - x) (x (x - 1))}$

Schritt 1.9

Stelle die Faktoren von $(x^{2} - x) (x (x - 1))$ um.

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} - \frac{4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $(x - 1) (x^{2} - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x (x^{2} - x) - 1 (x^{2} - x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x^{2} + x (- x) - 1 (x^{2} - x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x^{2} + x (- x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2} + x (- x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x^{1 + 2} + x (- x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 (x^{3} + x (- x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 (x^{3} - x \cdot x - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x^{3} - (x \cdot x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (x^{3} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.2.1.4

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{2 (x^{3} - x^{2} - x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.2.1.5

Multipliziere $- 1 (- x)$ .

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Schritt 2.2.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{3} - x^{2} - x^{2} + 1 x) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{3} - x^{2} - x^{2} + x) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 2 x^{2} + x) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x \cdot x^{2} + x (- x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{1} x^{2} + x (- x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{1 + 2} + x (- x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.6.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{3} + x (- x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{3} - x \cdot x) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.8.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{3} - (x \cdot x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{3} - x^{2}) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} + 3 (- x^{2}) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.11

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x \cdot x + x \cdot - 1)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.12

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x^{2} + x \cdot - 1)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.13

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x^{2} - 1 \cdot x)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.14

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x^{2} - x)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.15

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x^{2} - 4 (- x)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.3.1

Addiere $2 x^{3}$ und $3 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 3 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + 4 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 7 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{3} - 11 x^{2} + 2 x + 4 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 2.3.4

Addiere $2 x$ und $4 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 11 x^{2} + 6 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{3} - 11 x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{3}$ heraus.

$\frac{x (5 x^{2}) - 11 x^{2} + 6 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 11 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (5 x^{2}) + x (- 11 x) + 6 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{x (5 x^{2}) + x (- 11 x) + x \cdot 6}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (5 x^{2}) + x (- 11 x)$ heraus.

$\frac{x (5 x^{2} - 11 x) + x \cdot 6}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (5 x^{2} - 11 x) + x \cdot 6$ heraus.

$\frac{x (5 x^{2} - 11 x + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$\frac{x (5 x^{2} - 11 (x) + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 11$ um als $- 5$ plus $- 6$

$\frac{x (5 x^{2} + (- 5 - 6) x + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (5 x^{2} - 5 x - 6 x + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x ((5 x^{2} - 5 x) - 6 x + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (5 x (x - 1) - 6 (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$\frac{x ((x - 1) (5 x - 6))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) (x \cdot x - x)}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1)}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) (x (x - 1))}$

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) x (x - 1)}$

Schritt 4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{1} x (x - 1) (x - 1)}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{1} x^{1} (x - 1) (x - 1)}$

Schritt 4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{1 + 1} (x - 1) (x - 1)}$

Schritt 4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} (x - 1) (x - 1)}$

Schritt 4.2.5

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} ({(x - 1)}^{1} (x - 1))}$

Schritt 4.2.6

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1})}$

Schritt 4.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} {(x - 1)}^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x (x - 1) (5 x - 6)$ heraus.

$\frac{x ((x - 1) (5 x - 6))}{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{x ((x - 1) (5 x - 6))}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x ((x - 1) (5 x - 6))}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 1) (5 x - 6)}{x {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $x {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 1) (5 x - 6)}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (5 x - 6)}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x - 6}{x (x - 1)}$