Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{x} - 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{x} - 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{x} - 1 = 0$ um.

$\frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{x} - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{4^{x}}{3^{x}} - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Kombinieren.

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} - 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} = 1$

Schritt 1.2.4

Multipliziere beide Seiten mit $2 \cdot 3^{x}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} (2 \cdot 3^{x}) = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.1.1

Vereinfache $\frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} (2 \cdot 3^{x})$ .

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Schritt 1.2.5.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Schritt 1.2.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3^{x}$ heraus.

$2 \frac{3 \cdot 4^{x}}{2 (3^{x})} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Schritt 1.2.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Schritt 1.2.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{3^{x}} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Schritt 1.2.5.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3^{x}$ .

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Schritt 1.2.5.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{3^{x}} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Schritt 1.2.5.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \cdot 4^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Mutltipliziere $2 \cdot 3^{x}$ mit $1$ .

$3 \cdot 4^{x} = 2 \cdot 3^{x}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3 \cdot 4^{x}) = \ln (2 \cdot 3^{x})$

Schritt 1.2.6.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 1.2.6.2.1

Schreibe $\ln (3 \cdot 4^{x})$ als $\ln (3) + \ln (4^{x})$ um.

$\ln (3) + \ln (4^{x}) = \ln (2 \cdot 3^{x})$

Schritt 1.2.6.2.2

Zerlege $\ln (4^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (3) + x \ln (4) = \ln (2 \cdot 3^{x})$

Schritt 1.2.6.3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 1.2.6.3.1

Schreibe $\ln (2 \cdot 3^{x})$ als $\ln (2) + \ln (3^{x})$ um.

$\ln (3) + x \ln (4) = \ln (2) + \ln (3^{x})$

Schritt 1.2.6.3.2

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (3) + x \ln (4) = \ln (2) + x \ln (3)$

Schritt 1.2.6.4

Stelle $\ln (3)$ und $x \ln (4)$ um.

$x \ln (4) + \ln (3) = \ln (2) + x \ln (3)$

Schritt 1.2.6.5

Stelle $\ln (2)$ und $x \ln (3)$ um.

$x \ln (4) + \ln (3) = x \ln (3) + \ln (2)$

Schritt 1.2.6.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (4) + \ln (3) - x \ln (3) - \ln (2) = 0$

Schritt 1.2.6.7

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (4) - x \ln (3) + \ln (\frac{3}{2}) = 0$

Schritt 1.2.6.8

Subtrahiere $\ln (\frac{3}{2})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (4) - x \ln (3) = - \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 1.2.6.9

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (4) - x \ln (3)$ heraus.

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Schritt 1.2.6.9.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (4)$ heraus.

$x (\ln (4)) - x \ln (3) = - \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 1.2.6.9.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (4)) + x (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 1.2.6.9.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (4)) + x (- 1 \ln (3))$ heraus.

$x (\ln (4) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 1.2.6.10

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$x (\ln (4) - \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 1.2.6.11

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (4) - \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$ durch $\ln (4) - \ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.11.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (4) - \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$ durch $\ln (4) - \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (4) - \ln (3))}{\ln (4) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}$

Schritt 1.2.6.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4) - \ln (3)$ .

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Schritt 1.2.6.11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (4) - \ln (3))}{\ln (4) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}$

Schritt 1.2.6.11.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}$

Schritt 1.2.6.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{0} - 1$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{0} - 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{0} - 1$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{4^{0}}{3^{0}} - 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Kombinieren.

$y = \frac{3 \cdot 4^{0}}{2 \cdot 3^{0}} - 1$

Schritt 2.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $3^{0}$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 4^{0}$ heraus.

$y = \frac{3 (4^{0})}{2 \cdot 3^{0}} - 1$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $2 \cdot 3^{0}$ heraus.

$y = \frac{3 (4^{0})}{3 (2 \cdot 3^{- 1})} - 1$

Schritt 2.2.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 \cdot 4^{0}}{3 (2 \cdot 3^{- 1})} - 1$

Schritt 2.2.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4^{0}}{2 \cdot 3^{- 1}} - 1$

Schritt 2.2.2.1.4

Bringe $3^{- 1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$y = \frac{4^{0} \cdot 3}{2} - 1$

Schritt 2.2.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.1.5.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = \frac{1 \cdot 3}{2} - 1$

Schritt 2.2.2.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = \frac{3}{2} - 1$

Schritt 2.2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{3 - 2}{2}$

Schritt 2.2.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{1}{2})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{1}{2})$

Schritt 4