Algebra Beispiele

$x^{5} + x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x - 4$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ heraus.

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ heraus.

$x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Schritt 3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Schritt 4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} - 3 u - 4) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Schritt 5

Faktorisiere $u^{2} - 3 u - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((u - 4) (u + 1)) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Schritt 7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Schritt 9

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4$

Schritt 10

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + u^{2} - 3 u - 4$

Schritt 11

Faktorisiere $u^{2} - 3 u - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 11.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 11.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (u - 4) (u + 1)$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 1)$

Schritt 13

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)$

Schritt 14

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$

Schritt 15

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ aus $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ heraus.

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Schritt 15.1

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ aus $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) (x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$

Schritt 15.2

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ aus $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) (x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) (1)$

Schritt 15.3

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ aus $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) (x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) (1)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) (x + 1)$