Algebra Beispiele

$f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ als Gleichung.

$y = 3 x^{- \frac{5}{2}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3 y^{- \frac{5}{2}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ um.

$3 y^{- \frac{5}{2}} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ durch $3$ .

$\frac{3 y^{- \frac{5}{2}}}{3} = \frac{x}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Bringe $y^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{3 y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3 y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{\frac{5}{2}}, 3$

Schritt 3.3.2

Da $y^{\frac{5}{2}}, 3$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 3$ und anschließend für den variablen Teil $y^{\frac{5}{2}}$ .

Schritt 3.3.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.3.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.3.5

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 3.3.6

Das kgV von $1, 3$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3$

Schritt 3.3.7

Das kgV von $y^{\frac{5}{2}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y^{\frac{5}{2}}$

Schritt 3.3.8

Das kgV von $y^{\frac{5}{2}}, 3$ ist der numerische Teil $3$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$3 y^{\frac{5}{2}}$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$ mit $3 y^{\frac{5}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$ mit $3 y^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} (3 y^{\frac{5}{2}}) = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Schritt 3.4.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{3}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Schritt 3.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 = 3 \frac{x}{3} y^{\frac{5}{2}}$

Schritt 3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 = 3 \frac{x}{3} y^{\frac{5}{2}}$

Schritt 3.4.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = x y^{\frac{5}{2}}$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x y^{\frac{5}{2}} = 3$ um.

$x y^{\frac{5}{2}} = 3$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $x y^{\frac{5}{2}} = 3$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y^{\frac{5}{2}} = 3$ durch $x$ .

$\frac{x y^{\frac{5}{2}}}{x} = \frac{3}{x}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y^{\frac{5}{2}}}{x} = \frac{3}{x}$

Schritt 3.5.2.2.2

Dividiere $y^{\frac{5}{2}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{5}{2}} = \frac{3}{x}$

Schritt 3.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.5.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.5.4.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{x}$ an.

$y = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(3 x^{- \frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(3 (\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}))}^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}})}^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.2.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}$ an.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}}}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}}$

Schritt 5.2.3.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}}$

Schritt 5.2.3.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Schritt 5.2.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.4.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Schritt 5.2.3.4.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x}}$

Schritt 5.2.3.4.2

Vereinfache.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x}}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = 3^{\frac{2}{5}} (\frac{x}{3^{\frac{2}{5}}})$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3^{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = 3^{\frac{2}{5}} (\frac{x}{3^{\frac{2}{5}}})$

Schritt 5.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 {(\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}})}^{- \frac{5}{2}}$

Schritt 5.3.3

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 {(\frac{x^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{2}{5}}}$ an.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{{(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.3.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 5.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 5.3.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 5.3.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.5.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 5.3.5.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.6.1

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.3.6.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}})$

Schritt 5.3.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}})$

Schritt 5.3.6.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Schritt 5.3.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Schritt 5.3.6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.3.6.2

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$