Algebra Beispiele

$- x^{5} + 36 x^{3} - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{5} + 36 x^{3} - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Schritt 2

Faktorisiere $- x^{3}$ aus $- x^{5} + 36 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- x^{3}$ aus $- x^{5}$ heraus.

$- x^{3} (x^{2}) + 36 x^{3} - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- x^{3}$ aus $36 x^{3}$ heraus.

$- x^{3} (x^{2}) - x^{3} (- 36) - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- x^{3}$ aus $- x^{3} (x^{2}) - x^{3} (- 36)$ heraus.

$- x^{3} (x^{2} - 36) - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Schritt 3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$- x^{3} (x^{2} - 6^{2}) - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 6$ .

$- x^{3} ((x + 6) (x - 6)) - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x^{3} (x + 6) (x - 6) - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 22 \cdot - 90 = 1980$ und deren Summe gleich $b = - 147$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 147$ aus $- 147 x$ heraus.

$- x^{3} (x + 6) (x - 6) - 22 x^{2} - 147 (x) - 90$

Schritt 5.1.2

Schreibe $- 147$ um als $- 15$ plus $- 132$

$- x^{3} (x + 6) (x - 6) - 22 x^{2} + (- 15 - 132) x - 90$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{3} (x + 6) (x - 6) - 22 x^{2} - 15 x - 132 x - 90$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- x^{3} (x + 6) (x - 6) + (- 22 x^{2} - 15 x) - 132 x - 90$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- x^{3} (x + 6) (x - 6) + x (- 22 x - 15) + 6 (- 22 x - 15)$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 22 x - 15$ .

$- x^{3} (x + 6) (x - 6) + (- 22 x - 15) (x + 6)$

Schritt 6

Faktorisiere $x + 6$ aus $- x^{3} (x + 6) (x - 6) + (- 22 x - 15) (x + 6)$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x + 6$ aus $- x^{3} (x + 6) (x - 6)$ heraus.

$(x + 6) (- x^{3} (x - 6)) + (- 22 x - 15) (x + 6)$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x + 6$ aus $(- 22 x - 15) (x + 6)$ heraus.

$(x + 6) (- x^{3} (x - 6)) + (x + 6) (- 22 x - 15)$

Schritt 6.3

Faktorisiere $x + 6$ aus $(x + 6) (- x^{3} (x - 6)) + (x + 6) (- 22 x - 15)$ heraus.

$(x + 6) (- x^{3} (x - 6) - 22 x - 15)$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 6) (- x^{3} x - x^{3} \cdot - 6 - 22 x - 15)$

Schritt 8

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1

Bewege $x$ .

$(x + 6) (- (x \cdot x^{3}) - x^{3} \cdot - 6 - 22 x - 15)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 6) (- (x^{1} x^{3}) - x^{3} \cdot - 6 - 22 x - 15)$

Schritt 8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 6) (- x^{1 + 3} - x^{3} \cdot - 6 - 22 x - 15)$

Schritt 8.3

Addiere $1$ und $3$ .

$(x + 6) (- x^{4} - x^{3} \cdot - 6 - 22 x - 15)$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$(x + 6) (- x^{4} + 6 x^{3} - 22 x - 15)$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Schreibe $- x^{4} + 6 x^{3} - 22 x - 15$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $- x^{4} + 6 x^{3} - 22 x - 15$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 10.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Schritt 10.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Schritt 10.1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 10.1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$- {(- 1)}^{4} + 6 {(- 1)}^{3} - 22 \cdot - 1 - 15$

Schritt 10.1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$- 1 \cdot 1 + 6 {(- 1)}^{3} - 22 \cdot - 1 - 15$

Schritt 10.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + 6 {(- 1)}^{3} - 22 \cdot - 1 - 15$

Schritt 10.1.1.3.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 + 6 \cdot - 1 - 22 \cdot - 1 - 15$

Schritt 10.1.1.3.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 1 - 6 - 22 \cdot - 1 - 15$

Schritt 10.1.1.3.6

Subtrahiere $6$ von $- 1$ .

$- 7 - 22 \cdot - 1 - 15$

Schritt 10.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 22$ mit $- 1$ .

$- 7 + 22 - 15$

Schritt 10.1.1.3.8

Addiere $- 7$ und $22$ .

$15 - 15$

Schritt 10.1.1.3.9

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$0$

Schritt 10.1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{4} + 6 x^{3} - 22 x - 15}{x + 1}$

Schritt 10.1.1.5

Dividiere $- x^{4} + 6 x^{3} - 22 x - 15$ durch $x + 1$ .

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Schritt 10.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

Schritt 10.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{3}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{4}$	+	$6 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$22 x$	-	$15$

Schritt 10.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{3}$
$x$	+	$1$	-	$x^{4}$	+	$6 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$22 x$	-	$15$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$

Schritt 10.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 10.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

Schritt 10.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 10.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $7 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 10.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

Schritt 10.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $7 x^{3} + 7 x^{2}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

Schritt 10.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

Schritt 10.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

Schritt 10.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 7 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

Schritt 10.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

Schritt 10.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 7 x^{2} - 7 x$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

Schritt 10.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15 x$

Schritt 10.1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15 x$

$15$

Schritt 10.1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 15 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15 x$

$15$

Schritt 10.1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15 x$

$15$

$15 x$

$15$

Schritt 10.1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 15 x - 15$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15 x$

$15$

$15 x$

$15$

Schritt 10.1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15 x$

$15$

$15 x$

$15$

$0$

Schritt 10.1.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{3} + 7 x^{2} - 7 x - 15$

Schritt 10.1.1.6

Schreibe $- x^{4} + 6 x^{3} - 22 x - 15$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 6) ((x + 1) (- x^{3} + 7 x^{2} - 7 x - 15))$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $- x^{3} + 7 x^{2} - 7 x - 15$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 10.1.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Schritt 10.1.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Schritt 10.1.2.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 10.1.2.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$- {(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 15$

Schritt 10.1.2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- - 1 + 7 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 15$

Schritt 10.1.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 7 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 15$

Schritt 10.1.2.3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 7 \cdot 1 - 7 \cdot - 1 - 15$

Schritt 10.1.2.3.5

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$1 + 7 - 7 \cdot - 1 - 15$

Schritt 10.1.2.3.6

Addiere $1$ und $7$ .

$8 - 7 \cdot - 1 - 15$

Schritt 10.1.2.3.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$8 + 7 - 15$

Schritt 10.1.2.3.8

Addiere $8$ und $7$ .

$15 - 15$

Schritt 10.1.2.3.9

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$0$

Schritt 10.1.2.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} + 7 x^{2} - 7 x - 15}{x + 1}$

Schritt 10.1.2.5

Dividiere $- x^{3} + 7 x^{2} - 7 x - 15$ durch $x + 1$ .

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Schritt 10.1.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15$

Schritt 10.1.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$

Schritt 10.1.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 10.1.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 10.1.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Schritt 10.1.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 10.1.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 10.1.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 10.1.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 x^{2} + 8 x$

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 10.1.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$

Schritt 10.1.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$15$

Schritt 10.1.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 15 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$15$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$15$

Schritt 10.1.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$15$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	-	$15$

Schritt 10.1.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 15 x - 15$

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$15$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	+	$15$

Schritt 10.1.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$15$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	+	$15$
										$0$

Schritt 10.1.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} + 8 x - 15$

Schritt 10.1.2.6

Schreibe $- x^{3} + 7 x^{2} - 7 x - 15$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) (- x^{2} + 8 x - 15)))$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 10.1.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 10.1.3.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 10.1.3.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 15 = 15$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 10.1.3.1.1.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) (- x^{2} + 8 (x) - 15)))$

Schritt 10.1.3.1.1.1.2

Schreibe $8$ um als $3$ plus $5$

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) (- x^{2} + (3 + 5) x - 15)))$

Schritt 10.1.3.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) (- x^{2} + 3 x + 5 x - 15)))$

Schritt 10.1.3.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.1.3.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) ((- x^{2} + 3 x) + 5 x - 15)))$

Schritt 10.1.3.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) (x (- x + 3) - 5 (- x + 3))))$

Schritt 10.1.3.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 3$ .

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) ((- x + 3) (x - 5))))$

Schritt 10.1.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) (- x + 3) (x - 5)))$

Schritt 10.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 6) ((x + 1) (x + 1) (- x + 3) (x - 5))$

Schritt 10.1.4

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 10.1.4.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$(x + 6) ({(x + 1)}^{1} (x + 1) (- x + 3) (x - 5))$

Schritt 10.1.4.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$(x + 6) ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1} (- x + 3) (x - 5))$

Schritt 10.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 6) ({(x + 1)}^{1 + 1} (- x + 3) (x - 5))$

Schritt 10.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(x + 6) ({(x + 1)}^{2} (- x + 3) (x - 5))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 6) {(x + 1)}^{2} (- x + 3) (x - 5)$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x + 3$ heraus.

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Schritt 11.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$(x + 6) {(x + 1)}^{2} (- (x) + 3) (x - 5)$

Schritt 11.1.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$(x + 6) {(x + 1)}^{2} (- (x) - 1 (- 3)) (x - 5)$

Schritt 11.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 3)$ heraus.

$(x + 6) {(x + 1)}^{2} (- (x - 3)) (x - 5)$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 6) {(x + 1)}^{2} \cdot - 1 (x - 3) (x - 5)$

Schritt 12

Faktorisiere.

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Schritt 12.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- (((x + 6) {(x + 1)}^{2} (x - 3)) (x - 5))$

Schritt 12.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x + 6) {(x + 1)}^{2} (x - 3) (x - 5)$