Algebra Beispiele

$\cos (2 θ) + \sin^{2} (θ) = 0$

Schritt 1

Ersetze $\sin^{2} (θ)$ durch $1 - \cos^{2} (θ)$ .

$\cos (2 θ) (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (2 θ) = 0$

$1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Schritt 3

Setze $\cos (2 θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cos (2 θ)$ gleich $0$ .

$\cos (2 θ) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cos (2 θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 θ = \arccos (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$2 θ = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 3.2.3.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Schritt 3.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.5

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.5.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.2.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 θ = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.2.5.1.5

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$2 θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 3.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 3.2.5.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 3.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.5.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.2.5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.5.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (2 θ)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (2 θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $1 - \cos^{2} (θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $1 - \cos^{2} (θ)$ gleich $0$ .

$1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Schritt 4.2

Löse $1 - \cos^{2} (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos^{2} (θ) = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \cos^{2} (θ) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos^{2} (θ) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos^{2} (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $\cos^{2} (θ)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\cos^{2} (θ) = 1$

Schritt 4.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 4.2.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (θ) = \pm 1$

Schritt 4.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (θ) = 1$

Schritt 4.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (θ) = - 1$

Schritt 4.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (θ) = 1, - 1$

Schritt 4.2.6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\cos (θ) = 1$

$\cos (θ) = - 1$

Schritt 4.2.7

Löse in $\cos (θ) = 1$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (1)$

Schritt 4.2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.7.2.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$θ = 0$

Schritt 4.2.7.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - 0$

Schritt 4.2.7.4

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$θ = 2 π$

Schritt 4.2.7.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.2.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.7.6

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.2.8

Löse in $\cos (θ) = - 1$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.8.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (- 1)$

Schritt 4.2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.8.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$θ = π$

Schritt 4.2.8.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - π$

Schritt 4.2.8.4

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$θ = π$

Schritt 4.2.8.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.2.8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.8.6

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.2.9

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (2 θ) (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$ wahr machen.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Führe $\frac{π}{4} + π n$ und $\frac{3 π}{4} + π n$ zu $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ zusammen.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\cos (2 θ) + \sin^{2} (θ) = 0$ nicht erfüllen.

Keine Lösung