Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 25}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{2 x^{5} + 18 x^{4} + 28 x^{3}}{x^{2} + 7 x + 10}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{2 x^{5} + 18 x^{4} + 28 x^{3}}{x^{2} + 7 x + 10}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{2 x^{5} + 18 x^{4} + 28 x^{3}}{x^{2} + 7 x + 10}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} + 7 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} x + 7 x^{2}} \cdot \frac{2 x^{5} + 18 x^{4} + 28 x^{3}}{x^{2} + 7 x + 10}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} x + x^{2} \cdot 7} \cdot \frac{2 x^{5} + 18 x^{4} + 28 x^{3}}{x^{2} + 7 x + 10}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot 7$ heraus.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{2 x^{5} + 18 x^{4} + 28 x^{3}}{x^{2} + 7 x + 10}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2 x^{3}$ aus $2 x^{5} + 18 x^{4} + 28 x^{3}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2 x^{3}$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{2 x^{3} (x^{2}) + 18 x^{4} + 28 x^{3}}{x^{2} + 7 x + 10}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2 x^{3}$ aus $18 x^{4}$ heraus.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{2 x^{3} (x^{2}) + 2 x^{3} (9 x) + 28 x^{3}}{x^{2} + 7 x + 10}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2 x^{3}$ aus $28 x^{3}$ heraus.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{2 x^{3} (x^{2}) + 2 x^{3} (9 x) + 2 x^{3} (14)}{x^{2} + 7 x + 10}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $2 x^{3}$ aus $2 x^{3} (x^{2}) + 2 x^{3} (9 x)$ heraus.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{2 x^{3} (x^{2} + 9 x) + 2 x^{3} (14)}{x^{2} + 7 x + 10}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $2 x^{3}$ aus $2 x^{3} (x^{2} + 9 x) + 2 x^{3} (14)$ heraus.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{2 x^{3} (x^{2} + 9 x + 14)}{x^{2} + 7 x + 10}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 14$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $14$ und deren Summe $9$ ist.

$2, 7$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{2 x^{3} ((x + 2) (x + 7))}{x^{2} + 7 x + 10}$

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{2 x^{3} (x + 2) (x + 7)}{x^{2} + 7 x + 10}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} + 7 x + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $7$ ist.

$2, 5$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{2 x^{3} (x + 2) (x + 7)}{(x + 2) (x + 5)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombinieren.

$\frac{(x + 5) (x - 5) (2 x^{3} (x + 2) (x + 7))}{x^{2} (x + 7) ((x + 2) (x + 5))}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 5) (x - 5) (2 x^{3} (x + 2) (x + 7))}{x^{2} (x + 7) ((x + 2) (x + 5))}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 5) (2 x^{3} (x + 2) (x + 7))}{x^{2} (x + 7) (x + 2)}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $(x - 5) (2 x^{3} (x + 2) (x + 7))$ heraus.

$\frac{x^{2} ((x - 5) (2 x (x + 2) (x + 7)))}{x^{2} (x + 7) (x + 2)}$

Schritt 5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x + 7) (x + 2)$ heraus.

$\frac{x^{2} ((x - 5) (2 x (x + 2) (x + 7)))}{x^{2} ((x + 7) (x + 2))}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} ((x - 5) (2 x (x + 2) (x + 7)))}{x^{2} ((x + 7) (x + 2))}$

Schritt 5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 5) (2 x (x + 2) (x + 7))}{(x + 7) (x + 2)}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) (2 x (x + 2) (x + 7))}{(x + 7) (x + 2)}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 5) (2 x (x + 7))}{x + 7}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) (2 x (x + 7))}{x + 7}$

Schritt 5.5.2

Dividiere $(x - 5) (2 x)$ durch $1$ .

$(x - 5) (2 x)$

Schritt 5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) - 5 (2 x)$

Schritt 5.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x \cdot x - 5 (2 x)$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$2 x \cdot x - 10 x$

Schritt 6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) - 10 x$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 10 x$