Algebra Beispiele

$2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{4}} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ um.

$2 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} - x^{\frac{1}{4}} = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{\frac{1}{4}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{1}{4}}$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{2} - u$ heraus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{2}$ heraus.

$u (2 u) - u = 0$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $u$ aus $- u$ heraus.

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u (2 u) + u \cdot - 1$ heraus.

$u (2 u - 1) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{1}{4}} (2 x^{\frac{1}{4}} - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} = 0$

$2 x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{\frac{1}{4}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{\frac{1}{4}}$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{\frac{1}{4}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 3.2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 3.2.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{4}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{4}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $2 x^{\frac{1}{4}} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 x^{\frac{1}{4}} - 1$ gleich $0$ .

$2 x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{\frac{1}{4}} = 1$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(2 x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 1^{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{4}}$ an.

$2^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 1^{4}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 1^{4}$

Schritt 4.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{4}$

Schritt 4.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{4}$

Schritt 4.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 x^{1} = 1^{4}$

Schritt 4.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$16 x = 1^{4}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$16 x = 1$

Schritt 4.2.4

Teile jeden Ausdruck in $16 x = 1$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $16 x = 1$ durch $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{1}{16}$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 4.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 x}{16} = \frac{1}{16}$

Schritt 4.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{16}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{\frac{1}{4}} (2 x^{\frac{1}{4}} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{16}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, \frac{1}{16}$

Dezimalform:

$x = 0, 0.0625$