Algebra Beispiele

${| x + 7 |}^{2} - 3 | x + 7 | - 4 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = | x + 7 |$ . Ersetze $u$ für alle $| x + 7 |$ .

$u^{2} - 3 u - 4 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} - 3 u - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 4) (u + 1) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $| x + 7 |$ .

$(| x + 7 | - 4) (| x + 7 | + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$| x + 7 | - 4 = 0$

$| x + 7 | + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $| x + 7 | - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $| x + 7 | - 4$ gleich $0$ .

$| x + 7 | - 4 = 0$

Schritt 3.2

Löse $| x + 7 | - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$| x + 7 | = 4$

Schritt 3.2.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x + 7 = \pm 4$

Schritt 3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + 7 = 4$

Schritt 3.2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4 - 7$

Schritt 3.2.3.2.2

Subtrahiere $7$ von $4$ .

$x = - 3$

Schritt 3.2.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + 7 = - 4$

Schritt 3.2.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.4.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4 - 7$

Schritt 3.2.3.4.2

Subtrahiere $7$ von $- 4$ .

$x = - 11$

Schritt 3.2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = - 3, - 11$

Schritt 4

Setze $| x + 7 | + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $| x + 7 | + 1$ gleich $0$ .

$| x + 7 | + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $| x + 7 | + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$| x + 7 | = - 1$

Schritt 4.2.2

Es gibt keinen Wert von $x$ , der die Gleichung erfüllt, da ein Absolutwert nie negativ sein kann.

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(| x + 7 | - 4) (| x + 7 | + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, - 11$

Schritt 6