Algebra Beispiele

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58}{x^{2} - 9} + \frac{5 x^{2} + 7 x + 5}{- x^{2} + 9}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58}{x^{2} - 3^{2}} + \frac{5 x^{2} + 7 x + 5}{- x^{2} + 9}$

Schritt 1.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x^{2} + 7 x + 5}{- x^{2} + 9}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x^{2} + 7 x + 5}{- x^{2} + 3^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Stelle $- x^{2}$ und $3^{2}$ um.

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x^{2} + 7 x + 5}{3^{2} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x^{2} + 7 x + 5}{(3 + x) (3 - x)}$

Schritt 1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x^{2} + 7 x + 5}{(x + 3) (3 - x)}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x^{2} + 7 x + 5}{(x + 3) (- 1 (- 3) - x)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x^{2} + 7 x + 5}{(x + 3) (- 1 (- 3) - (x))}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 3) - (x)$ heraus.

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x^{2} + 7 x + 5}{(x + 3) (- 1 (- 3 + x))}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.5.1

Bewege ein Minuszeichen des Nenners von $\frac{5 x^{2} + 7 x + 5}{(x + 3) (- 1 (- 3 + x))}$ zum Zähler.

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- (5 x^{2} + 7 x + 5)}{(x + 3) (- 3 + x)}$

Schritt 1.2.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- (5 x^{2} + 7 x + 5)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58 - (5 x^{2} + 7 x + 5)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58 - (5 x^{2}) - (7 x) - 1 \cdot 5}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58 - 5 x^{2} - (7 x) - 1 \cdot 5}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58 - 5 x^{2} - 7 x - 1 \cdot 5}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 34 x - 58 - 5 x^{2} - 7 x - 5}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $12 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 34 x - 58 - 7 x - 5}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $7 x$ von $34 x$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 27 x - 58 - 5}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2.5

Subtrahiere $5$ von $- 58$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 27 x - 63}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2.6

Schreibe $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 27 x - 63$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.6.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.6.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 3 x^{3} + 7 x^{2}) + 27 x - 63}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2.6.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x^{2} (- 3 x + 7) - 9 (- 3 x + 7)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 x + 7$ .

$\frac{(- 3 x + 7) (x^{2} - 9)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2.6.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(- 3 x + 7) (x^{2} - 3^{2})}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2.6.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(- 3 x + 7) (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 3 x + 7) (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 3 x + 7) (x - 3)}{x - 3}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 3 x + 7) (x - 3)}{x - 3}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $- 3 x + 7$ durch $1$ .

$- 3 x + 7$