Algebra Beispiele

$r = \tan (θ) \sec (θ)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\tan (θ) \sec (θ)$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$r = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \sec (θ)$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\sec (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$r = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ mit $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$r = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$r = \frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

Schritt 1.1.3.3

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$r = \frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

Schritt 1.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r = \frac{\sin (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}}$

Schritt 1.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$r = \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 2

Da $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ ist, ersetze $\sin (θ)$ durch $\frac{y}{r}$ .

$r = \frac{\frac{y}{r}}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 3

Da $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ ist, ersetze $\cos (θ)$ durch $\frac{x}{r}$ .

$r = \frac{\frac{y}{r}}{{(\frac{x}{r})}^{2}}$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten mit $r$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten mit $r$ .

$r \cdot r = r \frac{\frac{y}{r}}{{(\frac{x}{r})}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$r^{2} = r \frac{\frac{y}{r}}{{(\frac{x}{r})}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache $r \frac{\frac{y}{r}}{{(\frac{x}{r})}^{2}}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r^{2} = r (\frac{y}{r} \cdot \frac{1}{{(\frac{x}{r})}^{2}})$

Schritt 4.3.1.2

Kombinieren.

$r^{2} = r \frac{y \cdot 1}{r {(\frac{x}{r})}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 4.3.1.3.1

Faktorisiere $r$ aus $r {(\frac{x}{r})}^{2}$ heraus.

$r^{2} = r \frac{y \cdot 1}{r ({(\frac{x}{r})}^{2})}$

Schritt 4.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r^{2} = r \frac{y \cdot 1}{r {(\frac{x}{r})}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$r^{2} = \frac{y \cdot 1}{{(\frac{x}{r})}^{2}}$

Schritt 4.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1.4.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$r^{2} = \frac{y}{{(\frac{x}{r})}^{2}}$

Schritt 4.3.1.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{r}$ an.

$r^{2} = \frac{y}{\frac{x^{2}}{r^{2}}}$

Schritt 4.3.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r^{2} = y \frac{r^{2}}{x^{2}}$

Schritt 4.3.1.6

Kombiniere $y$ und $\frac{r^{2}}{x^{2}}$ .

$r^{2} = \frac{y r^{2}}{x^{2}}$

Schritt 5

Da $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ist, ersetze $r^{2}$ durch $x^{2} + y^{2}$ und $r$ durch $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = \frac{y (x^{2} + y^{2})}{x^{2}}$