Algebra Beispiele

$\sqrt{1 + x \sqrt{x^{2} + 24}} = x + 1$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 + x \sqrt{x^{2} + 24}}}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x \sqrt{x^{2} + 24}}$ als ${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{1} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = (x + 1) (x + 1)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x + x + 1$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x \sqrt{x^{2} + 24}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x + 1 - 1$

Schritt 3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 2 x + 1 - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x + 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $x^{2} + 2 x$ und $0$ .

$x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(x \sqrt{x^{2} + 24})}^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 24}$ als ${(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(x {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $x {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$x^{2} {({(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} {(x^{2} + 24)}^{1} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache.

$x^{2} (x^{2} + 24) = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 24 = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 24 = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 24 = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Bringe $24$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(x^{2} + 2 x)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe ${(x^{2} + 2 x)}^{2}$ als $(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x)$ um.

$x^{4} + 24 x^{2} = (x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x)$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2} (x^{2} + 2 x) + 2 x (x^{2} + 2 x)$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x) + 2 x (x^{2} + 2 x)$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2 + 2} + x^{2} (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Schritt 5.3.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + x^{2} (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{2} x + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Schritt 5.3.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Schritt 5.3.1.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Schritt 5.3.1.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Schritt 5.3.1.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.3.1.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x (2 x)$

Schritt 5.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.3.1.3.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 x)$

Schritt 5.3.1.3.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 x)$

Schritt 5.3.1.3.1.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 x (2 x)$

Schritt 5.3.1.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x$

Schritt 5.3.1.3.1.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.3.1.6.1

Bewege $x$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x)$

Schritt 5.3.1.3.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 5.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Schritt 5.3.1.3.2

Addiere $2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} = x^{4} + 24 x^{2}$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - x^{4} = 24 x^{2}$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $24 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - x^{4} - 24 x^{2} = 0$

Schritt 6.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - x^{4} - 24 x^{2}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Subtrahiere $x^{4}$ von $x^{4}$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 0 - 24 x^{2} = 0$

Schritt 6.2.3.2

Addiere $4 x^{3} + 4 x^{2}$ und $0$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} - 24 x^{2} = 0$

Schritt 6.2.4

Subtrahiere $24 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 20 x^{2} = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{3} - 20 x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x^{2} (x) - 20 x^{2} = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $- 20 x^{2}$ heraus.

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 5) = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 5)$ heraus.

$4 x^{2} (x - 5) = 0$

Schritt 6.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 6.5

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.5.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.5.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.6

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 6.6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 6.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x^{2} (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 5$