Algebra Beispiele

$\frac{x}{3} - \frac{1}{x - 2} < \frac{x + 1}{4}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x + 1}{4}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{3} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x}{3} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4}$ .

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{4 (x - 2)}{4 (x - 2)}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4 (x - 2)}{4 (x - 2)} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{4 (x - 2)}{4 (x - 2)}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 2}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - (\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{12}{12}) - \frac{x + 1}{4} < 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 2}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{4}$ mit $\frac{3 (x - 2)}{3 (x - 2)}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - (\frac{x + 1}{4} \cdot \frac{3 (x - 2)}{3 (x - 2)}) < 0$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{4}$ mit $\frac{3 (x - 2)}{3 (x - 2)}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Schritt 2.1.7

Stelle die Faktoren von $3 (4 (x - 2))$ um.

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 \cdot 4 (x - 2)} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Schritt 2.1.9

Stelle die Faktoren von $(x - 2) \cdot 12$ um.

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{12 (x - 2)} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Schritt 2.1.10

Stelle die Faktoren von $4 (3 (x - 2))$ um.

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{12 (x - 2)} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{3 \cdot 4 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.1.11

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{12 (x - 2)} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (4 (x - 2)) - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 x (x - 2) - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1 \cdot 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1) (3 x + 3 \cdot - 2)}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1) (3 x - 6)}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.9

Multipliziere $(- x - 1) (3 x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - x (3 x - 6) - 1 (3 x - 6)}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - x (3 x) - x \cdot - 6 - 1 (3 x - 6)}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - x (3 x) - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.10.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 1 \cdot 3 x \cdot x - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.10.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.10.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 1 \cdot 3 (x \cdot x) - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.10.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 1 \cdot 3 x^{2} - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.10.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.10.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 6 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.10.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 6 x - 3 x - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.10.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 6 x - 3 x + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.3.10.2

Subtrahiere $3 x$ von $6 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 3 x + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 12 + 3 x + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5

Addiere $- 8 x$ und $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 12 + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.6

Addiere $- 12$ und $6$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $x^{2} - 5 x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 6, 1$

Schritt 2.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 6) (x + 1)}{12 (x - 2)} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 6$

$x = - 1$

$x = 2$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 6, - 1, 2$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x - 6) (x + 1)}{12 (x - 2)}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 6) (x + 1)}{12 (x - 2)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$12 (x - 2) = 0$

Schritt 9.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 (x - 2) = 0$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $12 (x - 2) = 0$ durch $12$ .

$\frac{12 (x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 9.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 9.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 9.2.1.2.1.2

Dividiere $x - 2$ durch $1$ .

$x - 2 = \frac{0}{12}$

Schritt 9.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $12$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 9.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 4}{3} - \frac{1}{(- 4) - 2} < \frac{(- 4) + 1}{4}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 1.1\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $- 0.75$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{0}{3} - \frac{1}{(0) - 2} < \frac{(0) + 1}{4}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $0.5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.25$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{3} - \frac{1}{(4) - 2} < \frac{(4) + 1}{4}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $0.8\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $1.25$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{(8) - 2} < \frac{(8) + 1}{4}$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $2.5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $2.25$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 2$ Falsch

$2 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 2$ Falsch

$2 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 1$ oder $2 < x < 6$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 1 or 2 < x < 6$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (2, 6)$

Schritt 14