Algebra Beispiele

$x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} = 10 x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{- 3}$ , der in jedem Term vorkommt.

${(x^{- 3})}^{- \frac{1}{6}} + 3 {(x^{- 3})}^{\frac{1}{6}} - 10 {(x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Ersetze $x^{- 3}$ durch $u$ .

${(u)}^{- \frac{1}{6}} + 3 {(u)}^{\frac{1}{6}} - 10 {(u)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{u^{\frac{1}{6}}} + 3 u^{\frac{1}{6}} - 10 u^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$u^{\frac{1}{6}}, 1, 1, 1$

Schritt 3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{u^{\frac{1}{6}}} + 3 u^{\frac{1}{6}} - 10 u^{\frac{1}{2}} = 0$ mit $u^{\frac{1}{6}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{u^{\frac{1}{6}}} + 3 u^{\frac{1}{6}} - 10 u^{\frac{1}{2}} = 0$ mit $u^{\frac{1}{6}}$ .

$\frac{1}{u^{\frac{1}{6}}} u^{\frac{1}{6}} + 3 u^{\frac{1}{6}} u^{\frac{1}{6}} - 10 u^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u^{\frac{1}{6}}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{u^{\frac{1}{6}}} u^{\frac{1}{6}} + 3 u^{\frac{1}{6}} u^{\frac{1}{6}} - 10 u^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + 3 u^{\frac{1}{6}} u^{\frac{1}{6}} - 10 u^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.2

Multipliziere $u^{\frac{1}{6}}$ mit $u^{\frac{1}{6}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Bewege $u^{\frac{1}{6}}$ .

$1 + 3 (u^{\frac{1}{6}} u^{\frac{1}{6}}) - 10 u^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + 3 u^{\frac{1}{6} + \frac{1}{6}} - 10 u^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + 3 u^{\frac{1 + 1}{6}} - 10 u^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + 3 u^{\frac{2}{6}} - 10 u^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$1 + 3 u^{\frac{2 (1)}{6}} - 10 u^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$1 + 3 u^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}} - 10 u^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 3 u^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}} - 10 u^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + 3 u^{\frac{1}{3}} - 10 u^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.3

Multipliziere $u^{\frac{1}{2}}$ mit $u^{\frac{1}{6}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.3.1

Bewege $u^{\frac{1}{6}}$ .

$1 + 3 u^{\frac{1}{3}} - 10 (u^{\frac{1}{6}} u^{\frac{1}{2}}) = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + 3 u^{\frac{1}{3}} - 10 u^{\frac{1}{6} + \frac{1}{2}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.3.3

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 u^{\frac{1}{3}} - 10 u^{\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.2.1.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 u^{\frac{1}{3}} - 10 u^{\frac{1}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$1 + 3 u^{\frac{1}{3}} - 10 u^{\frac{1}{6} + \frac{3}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + 3 u^{\frac{1}{3}} - 10 u^{\frac{1 + 3}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.3.6

Addiere $1$ und $3$ .

$1 + 3 u^{\frac{1}{3}} - 10 u^{\frac{4}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$1 + 3 u^{\frac{1}{3}} - 10 u^{\frac{2 (2)}{6}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$1 + 3 u^{\frac{1}{3}} - 10 u^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 3 u^{\frac{1}{3}} - 10 u^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.2.1.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + 3 u^{\frac{1}{3}} - 10 u^{\frac{2}{3}} = 0 u^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $u^{\frac{1}{6}}$ .

$1 + 3 u^{\frac{1}{3}} - 10 u^{\frac{2}{3}} = 0$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $u^{\frac{1}{3}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$1 + 3 u^{\frac{1}{3}} - 10 {(u^{\frac{1}{3}})}^{2}$

Schritt 3.4.2

Ersetze $u^{\frac{1}{3}}$ durch $u$ .

$1 + 3 (u) - 10 {(u)}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.3.1

Entferne die Klammern.

$1 + 3 u - 10 u^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $1 + 3 u - 10 u^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.4.3.2.1.1.1

Bewege $1$ .

$3 u - 10 u^{2} + 1 = 0$

Schritt 3.4.3.2.1.1.2

Stelle $3 u$ und $- 10 u^{2}$ um.

$- 10 u^{2} + 3 u + 1 = 0$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 10 u^{2}$ heraus.

$- (10 u^{2}) + 3 u + 1 = 0$

Schritt 3.4.3.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $3 u$ heraus.

$- (10 u^{2}) - (- 3 u) + 1 = 0$

Schritt 3.4.3.2.1.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- (10 u^{2}) - (- 3 u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.4.3.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (10 u^{2}) - (- 3 u)$ heraus.

$- (10 u^{2} - 3 u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.4.3.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (10 u^{2} - 3 u) - 1 (- 1)$ heraus.

$- (10 u^{2} - 3 u - 1) = 0$

Schritt 3.4.3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.4.3.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.4.3.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 10 \cdot - 1 = - 10$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 3.4.3.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 u$ heraus.

$- (10 u^{2} - 3 u - 1) = 0$

Schritt 3.4.3.2.2.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $2$ plus $- 5$

$- (10 u^{2} + (2 - 5) u - 1) = 0$

Schritt 3.4.3.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (10 u^{2} + 2 u - 5 u - 1) = 0$

Schritt 3.4.3.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.4.3.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((10 u^{2} + 2 u) - 5 u - 1) = 0$

Schritt 3.4.3.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (2 u (5 u + 1) - (5 u + 1)) = 0$

Schritt 3.4.3.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 u + 1$ .

$- ((5 u + 1) (2 u - 1)) = 0$

Schritt 3.4.3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (5 u + 1) (2 u - 1) = 0$

Schritt 3.4.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 u + 1 = 0$

$2 u - 1 = 0$

Schritt 3.4.3.4

Setze $5 u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.3.4.1

Setze $5 u + 1$ gleich $0$ .

$5 u + 1 = 0$

Schritt 3.4.3.4.2

Löse $5 u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 u = - 1$

Schritt 3.4.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 u = - 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 u = - 1$ durch $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 1}{5}$

Schritt 3.4.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 1}{5}$

Schritt 3.4.3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{5}$

Schritt 3.4.3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{5}$

Schritt 3.4.3.5

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.3.5.1

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Schritt 3.4.3.5.2

Löse $2 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.3.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = 1$

Schritt 3.4.3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.4.3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.4.3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Schritt 3.4.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (5 u + 1) (2 u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = - \frac{1}{5}, \frac{1}{2}$

Schritt 3.4.4

Ersetze $u$ durch $u$ .

$u^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{5}, \frac{1}{2}$

Schritt 3.4.5

Löse nach $u^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{5}$ auf für $u$ .

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Schritt 3.4.5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(u^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{5})}^{3}$

Schritt 3.4.5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.4.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.5.2.1.1

Vereinfache ${(u^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{5})}^{3}$

Schritt 3.4.5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{5})}^{3}$

Schritt 3.4.5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{1} = {(- \frac{1}{5})}^{3}$

Schritt 3.4.5.2.1.1.2

Vereinfache.

$u = {(- \frac{1}{5})}^{3}$

Schritt 3.4.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.5.2.2.1

Vereinfache ${(- \frac{1}{5})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.5.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.4.5.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{5}$ an.

$u = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{5})}^{3}$

Schritt 3.4.5.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$u = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{5^{3}}$

Schritt 3.4.5.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$u = - \frac{1^{3}}{5^{3}}$

Schritt 3.4.5.2.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u = - \frac{1}{5^{3}}$

Schritt 3.4.5.2.2.1.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$u = - \frac{1}{125}$

Schritt 3.4.6

Löse nach $u^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$ auf für $u$ .

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Schritt 3.4.6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(u^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 3.4.6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.4.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.6.2.1.1

Vereinfache ${(u^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 3.4.6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 3.4.6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{1} = {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 3.4.6.2.1.1.2

Vereinfache.

$u = {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 3.4.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.6.2.2.1

Vereinfache ${(\frac{1}{2})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.6.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$u = \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.4.6.2.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u = \frac{1}{2^{3}}$

Schritt 3.4.6.2.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$u = \frac{1}{8}$

Schritt 3.4.7

Liste alle Lösungen auf.

$u = - \frac{1}{125}, \frac{1}{8}$

Schritt 4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{- 3} = - \frac{1}{125}, \frac{1}{8}$

Schritt 5

Löse nach $x^{- 3} = - \frac{1}{125}$ auf für $x$ .

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = - \frac{1}{125}$

Schritt 5.2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$1 \cdot 125 = x^{3} \cdot - 1$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} \cdot - 1 = 1 \cdot 125$ um.

$x^{3} \cdot - 1 = 1 \cdot 125$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} \cdot - 1 = 1 \cdot 125$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} \cdot - 1 = 1 \cdot 125$ durch $- 1$ .

$\frac{x^{3} \cdot - 1}{- 1} = \frac{1 \cdot 125}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{3} \cdot - 1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (x^{3} \cdot - 1) = \frac{1 \cdot 125}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.2

Schreibe $- 1 \cdot (x^{3} \cdot - 1)$ als $- (x^{3} \cdot - 1)$ um.

$- (x^{3} \cdot - 1) = \frac{1 \cdot 125}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$- (- 1 \cdot x^{3}) = \frac{1 \cdot 125}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.4

Schreibe $- 1 x^{3}$ als $- x^{3}$ um.

$- - x^{3} = \frac{1 \cdot 125}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.5

Multipliziere $- - x^{3}$ .

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Schritt 5.3.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{3} = \frac{1 \cdot 125}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.5.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} = \frac{1 \cdot 125}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1 \cdot 125}{- 1}$ .

$x^{3} = - 1 \cdot (1 \cdot 125)$

Schritt 5.3.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (1 \cdot 125)$ als $- (1 \cdot 125)$ um.

$x^{3} = - (1 \cdot 125)$

Schritt 5.3.2.3.3

Multipliziere $- (1 \cdot 125)$ .

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Schritt 5.3.2.3.3.1

Mutltipliziere $125$ mit $1$ .

$x^{3} = - 1 \cdot 125$

Schritt 5.3.2.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $125$ .

$x^{3} = - 125$

Schritt 5.3.3

Addiere $125$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 125 = 0$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.4.1

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$x^{3} + 5^{3} = 0$

Schritt 5.3.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$(x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.4.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$(x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2}) = 0$

Schritt 5.3.4.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) = 0$

Schritt 5.3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

$x^{2} - 5 x + 25 = 0$

Schritt 5.3.6

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.6.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 5.3.6.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 5.3.7

Setze $x^{2} - 5 x + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.7.1

Setze $x^{2} - 5 x + 25$ gleich $0$ .

$x^{2} - 5 x + 25 = 0$

Schritt 5.3.7.2

Löse $x^{2} - 5 x + 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.3.7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 5$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.7.2.3.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 5.3.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.2.3.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.2.3.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.2.3.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.3.7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.2.3.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.2.3.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.3.7.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) = 0$ wahr machen.

$x = - 5, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Löse nach $x^{- 3} = \frac{1}{8}$ auf für $x$ .

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Schritt 6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{8}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$1 \cdot 8 = x^{3} \cdot 1$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 8$ um.

$x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 8$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} = 1 \cdot 8$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$x^{3} = 8$

Schritt 6.3.4

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 8 = 0$

Schritt 6.3.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.5.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Schritt 6.3.5.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 6.3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.5.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 6.3.5.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Schritt 6.3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 6.3.7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.3.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6.3.8

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.8.1

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 6.3.8.2

Löse $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.8.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.3.8.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.8.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.8.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 6.3.8.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.3.8.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.3.8.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 6.3.8.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 6.3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$x = - 5, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$