Algebra Beispiele

$- x^{5} + 52 x^{3} + 2 x^{2} - 147 x - 98$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$2 x^{2} - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Schritt 2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 98$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 98$ heraus.

$2 x^{2} + 2 \cdot - 49 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot - 49$ heraus.

$2 (x^{2} - 49) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Schritt 3

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$2 (x^{2} - 7^{2}) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$2 ((x + 7) (x - 7)) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x + 7) (x - 7) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Schritt 5

Faktorisiere $x$ aus $- x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{5}$ heraus.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + 52 x^{3} - 147 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x$ aus $52 x^{3}$ heraus.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) - 147 x$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x$ aus $- 147 x$ heraus.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Schritt 5.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- x^{4}) + x (52 x^{2})$ heraus.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Schritt 5.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$ heraus.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2} - 147)$

Schritt 6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- {(x^{2})}^{2} + 52 x^{2} - 147)$

Schritt 7

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 u - 147)$

Schritt 8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 147 = 147$ und deren Summe gleich $b = 52$ ist.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $52$ aus $52 u$ heraus.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 (u) - 147)$

Schritt 8.1.2

Schreibe $52$ um als $3$ plus $49$

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + (3 + 49) u - 147)$

Schritt 8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 3 u + 49 u - 147)$

Schritt 8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u^{2} + 3 u) + 49 u - 147)$

Schritt 8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (u (- u + 3) - 49 (- u + 3))$

Schritt 8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u + 3$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u + 3) (u - 49))$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 49))$

Schritt 10

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 7^{2}))$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Faktorisiere.

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Schritt 11.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) ((x + 7) (x - 7)))$

Schritt 11.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Schritt 12

Faktorisiere $(x + 7) (x - 7)$ aus $2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ heraus.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $(x + 7) (x - 7)$ aus $2 (x + 7) (x - 7)$ heraus.

$(x + 7) (x - 7) (2) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Schritt 12.2

Faktorisiere $(x + 7) (x - 7)$ aus $x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ heraus.

$(x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$

Schritt 12.3

Faktorisiere $(x + 7) (x - 7)$ aus $(x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$ heraus.

$(x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2} + 3))$

Schritt 13

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2}) + x \cdot 3)$

Schritt 14

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + x \cdot 3)$

Schritt 15

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + 3 \cdot x)$

Schritt 16

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.1

Bewege $x^{2}$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x) + 3 \cdot x)$

Schritt 16.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 16.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot x)$

Schritt 16.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{2 + 1} + 3 \cdot x)$

Schritt 16.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 \cdot x)$

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 x)$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$(x + 7) (x - 7) (- x^{3} + 3 x + 2)$

Schritt 18

Faktorisiere.

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Schritt 18.1

Schreibe $- x^{3} + 3 x + 2$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 18.1.1

Faktorisiere $- x^{3} + 3 x + 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 18.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 18.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2$

Schritt 18.1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 18.1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$- {(- 1)}^{3} + 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 18.1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- - 1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 18.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 18.1.1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$1 - 3 + 2$

Schritt 18.1.1.3.5

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2 + 2$

Schritt 18.1.1.3.6

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0$

Schritt 18.1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} + 3 x + 2}{x + 1}$

Schritt 18.1.1.5

Dividiere $- x^{3} + 3 x + 2$ durch $x + 1$ .

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Schritt 18.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Schritt 18.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$

Schritt 18.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 18.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 18.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Schritt 18.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 18.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 18.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 18.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 18.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$

Schritt 18.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 18.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 18.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 18.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x + 2$

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Schritt 18.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Schritt 18.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} + x + 2$

Schritt 18.1.1.6

Schreibe $- x^{3} + 3 x + 2$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + x + 2))$

Schritt 18.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 18.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 18.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 18.1.2.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + 1 x + 2))$

Schritt 18.1.2.1.1.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + (- 1 + 2) x + 2))$

Schritt 18.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} - 1 x + 2 x + 2))$

Schritt 18.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 18.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x^{2} - 1 x) + 2 x + 2))$

Schritt 18.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (x (- x - 1) - 2 (- x - 1)))$

Schritt 18.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x - 1) (x - 2)))$

Schritt 18.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x - 1) (x - 2))$

Schritt 18.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 7) (x - 7) (x + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Schritt 19

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 19.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Schritt 19.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) - 1 (- 1)) (- x - 1) (x - 2)$

Schritt 19.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (- 1)$ heraus.

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x - 1)) (- x - 1) (x - 2)$

Schritt 19.4

Entferne die Klammern.

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 (- x - 1) (- x - 1) (x - 2)$

Schritt 19.5

Potenziere $- x - 1$ mit $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 ({(- x - 1)}^{1} (- x - 1)) (x - 2)$

Schritt 19.6

Potenziere $- x - 1$ mit $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 ({(- x - 1)}^{1} {(- x - 1)}^{1}) (x - 2)$

Schritt 19.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 {(- x - 1)}^{1 + 1} (x - 2)$

Schritt 19.8

Addiere $1$ und $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 {(- x - 1)}^{2} (x - 2)$

Schritt 20

Faktorisiere.

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Schritt 20.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- ((x + 7) (x - 7) {(- x - 1)}^{2} (x - 2))$

Schritt 20.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x + 7) (x - 7) {(- x - 1)}^{2} (x - 2)$

Schritt 21

Faktorisiere $- 1$ aus $- x - 1$ heraus.

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Schritt 21.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x) - 1)}^{2} (x - 2)$

Schritt 21.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x) - 1 (1))}^{2} (x - 2)$

Schritt 21.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x + 1))}^{2} (x - 2)$

Schritt 22

Faktorisiere.

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Schritt 22.1

Wende die Produktregel auf $- (x + 1)$ an.

$- (x + 7) (x - 7) ({(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}) (x - 2)$

Schritt 22.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x + 7) (x - 7) {(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Schritt 23

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 23.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Schritt 23.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 23.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Schritt 23.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(- 1)}^{2 + 1} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Schritt 23.3

Addiere $2$ und $1$ .

${(- 1)}^{3} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$