Algebra Beispiele

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} \geq \frac{2}{24}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{2}{24}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24}$ .

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 10}$ mit $\frac{x \cdot 24}{x \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{1}{x - 10} \cdot \frac{x \cdot 24}{x \cdot 24} - \frac{2}{24} \geq 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 10}$ mit $\frac{x \cdot 24}{x \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2}{24} \geq 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{2}{24}$ mit $\frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - (\frac{2}{24} \cdot \frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}) \geq 0$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $\frac{2}{24}$ mit $\frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Schritt 2.1.7

Stelle die Faktoren von $x ((x - 10) \cdot 24)$ um.

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Schritt 2.1.8

Stelle die Faktoren von $(x - 10) (x \cdot 24)$ um.

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{24 x (x - 10)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Schritt 2.1.9

Stelle die Faktoren von $24 (x (x - 10))$ um.

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{24 x (x - 10)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 10) \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 24 - 10 \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.3.2

Bringe $24$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{24 \cdot x - 10 \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $24$ .

$\frac{24 \cdot x - 240 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.3.4

Bringe $24$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 \cdot x - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x \cdot x + x \cdot - 10)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x^{2} + x \cdot - 10)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.3.7

Bringe $- 10$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x^{2} - 10 \cdot x)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 x^{2} - 2 (- 10 x)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 2$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 x^{2} + 20 x}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.4

Addiere $24 x$ und $24 x$ .

$\frac{48 x - 240 - 2 x^{2} + 20 x}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.5

Addiere $48 x$ und $20 x$ .

$\frac{68 x - 240 - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $68 x - 240 - 2 x^{2}$ und $24$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $68 x$ heraus.

$\frac{2 (34 x) - 240 - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 240$ heraus.

$\frac{2 (34 x) + 2 (- 120) - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (34 x) + 2 (- 120)$ heraus.

$\frac{2 (34 x - 120) - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.6.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (34 x - 120) + 2 (- x^{2})}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.6.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (34 x - 120) + 2 (- x^{2})$ heraus.

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.6.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.6.1

Faktorisiere $2$ aus $24 x (x - 10)$ heraus.

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{2 (12 x (x - 10))} \geq 0$

Schritt 2.6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{2 (12 x (x - 10))} \geq 0$

Schritt 2.6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{34 x - 120 - x^{2}}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 34 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.7.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 120 = 120$ und deren Summe gleich $b = 34$ ist.

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Schritt 2.7.2.1

Faktorisiere $34$ aus $34 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} + 34 (x) - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.7.2.2

Schreibe $34$ um als $4$ plus $30$

$\frac{- x^{2} + (4 + 30) x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.7.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} + 4 x + 30 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.7.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.7.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) + 30 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.7.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x + 4) - 30 (- x + 4)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.7.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 4$ .

$\frac{(- x + 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) + 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.9

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{- (x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.11

Schreibe $- (x - 4)$ als $- 1 (x - 4)$ um.

$\frac{- 1 (x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$12 x = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 30 = 0$

$x - 10 = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 0$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 0$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $12$ .

$x = 0$

Schritt 5

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 6

Addiere $30$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 30$

Schritt 7

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 4$

$x = 30$

$x = 10$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 4, 30, 10$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$12 x (x - 10) = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

Schritt 10.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 10.2.3

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.3.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 10.2.3.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 x (x - 10) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 10$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 10) \cup (10, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 10$

$10 < x < 30$

$x > 30$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{- 2} + \frac{1}{(- 2) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $- 0.58\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $0.08\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{(2) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $0.375$ ist größer als die rechte Seite $0.08\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $4 < x < 10$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $4 < x < 10$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 7$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $7$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{7} + \frac{1}{(7) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 0.\overline{190476}$ ist kleiner als die rechte Seite $0.08\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $10 < x < 30$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $10 < x < 30$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 12$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{12} + \frac{1}{(12) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $0.58\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0.08\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 30$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 30$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 32$

Schritt 12.5.2

Ersetze $x$ durch $32$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{32} + \frac{1}{(32) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Schritt 12.5.3

Die linke Seite $0.07670\overline{45}$ ist kleiner als die rechte Seite $0.08\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$4 < x < 10$ Falsch

$10 < x < 30$ Wahr

$x > 30$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$4 < x < 10$ Falsch

$10 < x < 30$ Wahr

$x > 30$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x \leq 4$ oder $10 < x \leq 30$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x \leq 4 or 10 < x \leq 30$

Intervallschreibweise:

$(0, 4] \cup (10, 30]$

Schritt 15