Algebra Beispiele

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 2$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$2 x^{3} - 2 + 3 x^{2} - 3 x$

Schritt 2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} - 2$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 (x^{3}) - 2 + 3 x^{2} - 3 x$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (x^{3}) + 2 (- 1) + 3 x^{2} - 3 x$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3}) + 2 (- 1)$ heraus.

$2 (x^{3} - 1) + 3 x^{2} - 3 x$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$2 (x^{3} - 1^{3}) + 3 x^{2} - 3 x$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$2 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) + 3 x^{2} - 3 x$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) + 3 x^{2} - 3 x$

Schritt 5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) + 3 x^{2} - 3 x$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x^{2} - 3 x$

Schritt 6

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) - 3 x$

Schritt 6.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 3 x$ heraus.

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) + 3 x (- 1)$

Schritt 6.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x) + 3 x (- 1)$ heraus.

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1)$

Schritt 7

Faktorisiere $x - 1$ aus $2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ heraus.

$(x - 1) (2 (x^{2} + x + 1)) + 3 x (x - 1)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x - 1$ aus $3 x (x - 1)$ heraus.

$(x - 1) (2 (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (3 x)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) (2 (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (3 x)$ heraus.

$(x - 1) (2 (x^{2} + x + 1) + 3 x)$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) (2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1 + 3 x)$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(x - 1) (2 x^{2} + 2 x + 2 + 3 x)$

Schritt 10

Addiere $2 x$ und $3 x$ .

$(x - 1) (2 x^{2} + 5 x + 2)$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 11.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 11.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$(x - 1) (2 x^{2} + 5 (x) + 2)$

Schritt 11.1.1.2

Schreibe $5$ um als $1$ plus $4$

$(x - 1) (2 x^{2} + (1 + 4) x + 2)$

Schritt 11.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) (2 x^{2} + 1 x + 4 x + 2)$

Schritt 11.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x - 1) (2 x^{2} + x + 4 x + 2)$

Schritt 11.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 11.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) ((2 x^{2} + x) + 4 x + 2)$

Schritt 11.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) (x (2 x + 1) + 2 (2 x + 1))$

Schritt 11.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(x - 1) ((2 x + 1) (x + 2))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (2 x + 1) (x + 2)$