Algebra Beispiele

$f (x) = | x + 2 |$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Setze das Argument im Absolutwert gleich $0$ , um die potentiellen Werte zu finden, bei denen die Lösung geteilt werden könnte.

$x + 2 = 0$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

$x = - 2$

Schritt 3.2

Bilde Intervalle in der Umgebung der Lösungen, um zu ermitteln, wo $x + 2$ positiv bzw. negativ ist.

$(- \infty, - 2), (- 2, \infty)$

Schritt 3.3

Setze einen Wert aus jedem Intervall in $x + 2$ ein, um herauszufinden, wo der Ausdruck positv oder negativ ist.

$\begin{array}{c} Intervall & Vorzeichen im Intervall \\ (- \infty, - 2) & - \\ (- 2, \infty) & + \end{array}$

Schritt 3.4

Integriere das Argument des Absolutwerts.

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Schritt 3.4.1

Stelle das Integral mit dem Argument des Absolutwerts auf.

$\int x + 2 d x$

Schritt 3.4.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int 2 d x$

Schritt 3.4.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 d x$

Schritt 3.4.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 x + C$

Schritt 3.4.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C$

Schritt 3.5

Multipliziere die Lösung des Integrals mit $- 1$ in den Intervallen, in denen das Argument negativ ist.

${\begin{cases} - (\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C) & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C & x > - 2 \end{cases}$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

${\begin{cases} - (\frac{x^{2}}{2} + 2 x + C) & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C & x > - 2 \end{cases}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

${\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$

Schritt 3.8

Vereinfache.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$

Schritt 4

Die Funktion $F$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$F (x) = {\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$