Algebra Beispiele

$\frac{1 - x}{2 x} + \frac{x + 2}{x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 1

Um $\frac{1 - x}{2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - x}{2 x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x + 2}{x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 2

Um $\frac{x + 2}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - x}{2 x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x + 2}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1 - x}{2 x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(1 - x) x}{2 x \cdot x} + \frac{x + 2}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(1 - x) x}{2 (x^{1} x)} + \frac{x + 2}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(1 - x) x}{2 (x^{1} x^{1})} + \frac{x + 2}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(1 - x) x}{2 x^{1 + 1}} + \frac{x + 2}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(1 - x) x}{2 x^{2}} + \frac{x + 2}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\frac{x + 2}{x^{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 - x) x}{2 x^{2}} + \frac{(x + 2) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 3.7

Stelle die Faktoren von $x^{2} \cdot 2$ um.

$\frac{(1 - x) x}{2 x^{2}} + \frac{(x + 2) \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 - x) x + (x + 2) \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 x - x \cdot x + (x + 2) \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x - x \cdot x + (x + 2) \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{x - (x \cdot x) + (x + 2) \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x - x^{2} + (x + 2) \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - x^{2} + x \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 5.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x - x^{2} + 2 \cdot x + 2 \cdot 2}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x - x^{2} + 2 \cdot x + 4}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 5.7

Addiere $x$ und $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x + 4}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 5.8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 5.8.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} + 3 (x) + 4}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 5.8.1.2

Schreibe $3$ um als $- 1$ plus $4$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 4) x + 4}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 5.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 4 x + 4}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 5.8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 4 x + 4}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 5.8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x - 1) - 4 (- x - 1)}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 5.8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4)}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 6

Um $\frac{(- x - 1) (x - 4)}{2 x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 a}{3 a}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4)}{2 x^{2}} \cdot \frac{3 a}{3 a} + \frac{1}{3 a x^{2}}$

Schritt 7

Um $\frac{1}{3 a x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4)}{2 x^{2}} \cdot \frac{3 a}{3 a} + \frac{1}{3 a x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6 a x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{(- x - 1) (x - 4)}{2 x^{2}}$ mit $\frac{3 a}{3 a}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4) (3 a)}{2 x^{2} (3 a)} + \frac{1}{3 a x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4) (3 a)}{6 x^{2} a} + \frac{1}{3 a x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3 a x^{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4) (3 a)}{6 x^{2} a} + \frac{2}{3 a x^{2} \cdot 2}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 4) (3 a)}{6 x^{2} a} + \frac{2}{6 a x^{2}}$

Schritt 8.5

Stelle die Faktoren von $6 a x^{2}$ um.

$\frac{(- x - 1) (x - 4) (3 a)}{6 x^{2} a} + \frac{2}{6 x^{2} a}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(- x - 1) (x - 4) (3 a) + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Multipliziere $(- x - 1) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- x (x - 4) - 1 (x - 4)) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 10.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- x \cdot x - x \cdot - 4 - 1 (x - 4)) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 10.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- x \cdot x - x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 10.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{(- (x \cdot x) - x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 10.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{(- x^{2} - x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 10.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{(- x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot - 4) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 10.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{(- x^{2} + 4 x - x - 1 \cdot - 4) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 10.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{(- x^{2} + 4 x - x + 4) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $x$ von $4 x$ .

$\frac{(- x^{2} + 3 x + 4) \cdot 3 a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- x^{2} \cdot 3 + 3 x \cdot 3 + 4 \cdot 3) a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 10.4

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(- 3 x^{2} + 3 x \cdot 3 + 4 \cdot 3) a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{(- 3 x^{2} + 9 x + 4 \cdot 3) a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 10.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{(- 3 x^{2} + 9 x + 12) a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 10.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x^{2} a + 9 x a + 12 a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2} a$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2} a) + 9 x a + 12 a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 11.2

Faktorisiere $- 1$ aus $9 x a$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2} a) - (- 9 x a) + 12 a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 11.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} a) - (- 9 x a)$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2} a - 9 x a) + 12 a + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $12 a$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2} a - 9 x a) - (- 12 a) + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} a - 9 x a) - (- 12 a)$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2} a - 9 x a - 12 a) + 2}{6 x^{2} a}$

Schritt 11.6

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{- (3 x^{2} a - 9 x a - 12 a) - 1 (- 2)}{6 x^{2} a}$

Schritt 11.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} a - 9 x a - 12 a) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2} a - 9 x a - 12 a - 2)}{6 x^{2} a}$

Schritt 11.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.8.1

Schreibe $- (3 x^{2} a - 9 x a - 12 a - 2)$ als $- 1 (3 x^{2} a - 9 x a - 12 a - 2)$ um.

$\frac{- 1 (3 x^{2} a - 9 x a - 12 a - 2)}{6 x^{2} a}$

Schritt 11.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x^{2} a - 9 x a - 12 a - 2}{6 x^{2} a}$