Algebra Beispiele

$\frac{x + 1}{x^{2} - x - 20} - \frac{x + 4}{x^{2} - 4 x - 5} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 5, 4$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{x^{2} - 4 x - 5} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 5, 1$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $5$ ist.

$1, 4$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Schritt 2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)}$ mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - (\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4}) + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)}$ mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$ mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$ mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 2.7

Stelle die Faktoren von $(x - 5) (x + 1) (x + 4)$ um.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)} + \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 1) (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x + 1) + 1 (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.2.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + (- x - 1 \cdot 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + (- x - 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $(- x - 4) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x (x + 4) - 4 (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x \cdot x - x \cdot 4 - 4 (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x \cdot x - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.6.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 4 x - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 4 x - 4 x - 16 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.7

Multipliziere $(x + 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x (x - 5) + 5 (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.8

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Schritt 3.2.8.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 5$ und $5 x$ neu an.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.8.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.8.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.9.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.2.9.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} - 25$ .

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{2 x + 1 + 0 - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.3.1.2

Addiere $2 x + 1$ und $0$ .

$\frac{2 x + 1 - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $8 x$ von $2 x$ .

$\frac{- 6 x + 1 - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$\frac{- 6 x - 15 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.3.3.2

Subtrahiere $25$ von $- 15$ .

$\frac{- 6 x + x^{2} - 40}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 3.3.3.3

Stelle $- 6 x$ und $x^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 6 x - 40}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 40$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 40$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 10, 4$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 10}{(x + 1) (x - 5)}$