Algebra Beispiele

$\frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y} = 4 x^{a} y^{b}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $4 x^{a} y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}$ um.

$4 x^{a} y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{a} y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}$ durch $4 x^{a}$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{a} y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}$ durch $4 x^{a}$ .

$\frac{4 x^{a} y^{b}}{4 x^{a}} = \frac{\frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}}{4 x^{a}}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{a} y^{b}}{4 x^{a}} = \frac{\frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}}{4 x^{a}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{a} y^{b}}{x^{a}} = \frac{\frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}}{4 x^{a}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{a}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{a} y^{b}}{x^{a}} = \frac{\frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}}{4 x^{a}}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $y^{b}$ durch $1$ .

$y^{b} = \frac{\frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}}{4 x^{a}}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y} \cdot \frac{1}{4 x^{a}}$

Schritt 2.3.2

Kombinieren.

$y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4} \cdot 1}{4 x y (4 x^{a})}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $x$ mit $x^{a}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1

Bewege $x^{a}$ .

$y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4} \cdot 1}{4 (x^{a} x) y \cdot 4}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $x^{a}$ mit $x$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4} \cdot 1}{4 (x^{a} x^{1}) y \cdot 4}$

Schritt 2.3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4} \cdot 1}{4 x^{a + 1} y \cdot 4}$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere ${(2 x y)}^{4}$ mit $1$ .

$y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x^{a + 1} y \cdot 4}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Produktregel auf $2 x y$ an.

$y^{b} = \frac{{(2 x)}^{4} y^{4}}{4 x^{a + 1} y \cdot 4}$

Schritt 2.3.5.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$y^{b} = \frac{2^{4} x^{4} y^{4}}{4 x^{a + 1} y \cdot 4}$

Schritt 2.3.5.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$y^{b} = \frac{16 x^{4} y^{4}}{4 x^{a + 1} y \cdot 4}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y^{b} = \frac{16 x^{4} y^{4}}{16 x^{a + 1} y}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 2.3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{b} = \frac{16 x^{4} y^{4}}{16 x^{a + 1} y}$

Schritt 2.3.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{b} = \frac{x^{4} y^{4}}{x^{a + 1} y}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{a + 1}$ .

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Faktorisiere $x^{a + 1}$ aus $x^{4} y^{4}$ heraus.

$y^{b} = \frac{x^{a + 1} (x^{4 - (a + 1)} y^{4})}{x^{a + 1} y}$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{a + 1}$ aus $x^{a + 1} y$ heraus.

$y^{b} = \frac{x^{a + 1} (x^{4 - (a + 1)} y^{4})}{x^{a + 1} (y)}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{b} = \frac{x^{a + 1} (x^{4 - (a + 1)} y^{4})}{x^{a + 1} y}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{b} = \frac{x^{4 - (a + 1)} y^{4}}{y}$

Schritt 2.3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{4}$ und $y$ .

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Schritt 2.3.6.2.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{4 - (a + 1)} y^{4}$ heraus.

$y^{b} = \frac{y (x^{4 - (a + 1)} y^{3})}{y}$

Schritt 2.3.6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{b} = \frac{y (x^{4 - (a + 1)} y^{3})}{y^{1}}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y^{b} = \frac{y (x^{4 - (a + 1)} y^{3})}{y \cdot 1}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{b} = \frac{y (x^{4 - (a + 1)} y^{3})}{y \cdot 1}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y^{b} = \frac{x^{4 - (a + 1)} y^{3}}{1}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.5

Dividiere $x^{4 - (a + 1)} y^{3}$ durch $1$ .

$y^{b} = x^{4 - (a + 1)} y^{3}$

Schritt 2.3.6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{b} = x^{4 - a - 1 \cdot 1} y^{3}$

Schritt 2.3.6.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y^{b} = x^{4 - a - 1} y^{3}$

Schritt 2.3.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.4.1

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$y^{b} = x^{- a + 3} y^{3}$

Schritt 2.3.6.4.2

Stelle die Faktoren in $x^{- a + 3} y^{3}$ um.

$y^{b} = y^{3} x^{- a + 3}$

Schritt 3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (y^{b}) = \ln (y^{3} x^{- a + 3})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (y^{b})$ durch Herausziehen von $b$ aus dem Logarithmus.

$b \ln (y) = \ln (y^{3} x^{- a + 3})$

Schritt 5

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 5.1

Schreibe $\ln (y^{3} x^{- a + 3})$ als $\ln (y^{3}) + \ln (x^{- a + 3})$ um.

$b \ln (y) = \ln (y^{3}) + \ln (x^{- a + 3})$

Schritt 5.2

Zerlege $\ln (y^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$b \ln (y) = 3 \ln (y) + \ln (x^{- a + 3})$

Schritt 5.3

Zerlege $\ln (x^{- a + 3})$ durch Herausziehen von $- a + 3$ aus dem Logarithmus.

$b \ln (y) = 3 \ln (y) + (- a + 3) \ln (x)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$b \ln (y) = 3 \ln (y) - a \ln (x) + 3 \ln (x)$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$b \ln (y) - 3 \ln (y) + a \ln (x) - 3 \ln (x) = 0$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Addiere $3 \ln (y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b \ln (y) + a \ln (x) - 3 \ln (x) = 3 \ln (y)$

Schritt 8.2

Subtrahiere $a \ln (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b \ln (y) - 3 \ln (x) = 3 \ln (y) - a \ln (x)$

Schritt 8.3

Addiere $3 \ln (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b \ln (y) = 3 \ln (y) - a \ln (x) + 3 \ln (x)$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $b \ln (y) = 3 \ln (y) - a \ln (x) + 3 \ln (x)$ durch $\ln (y)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $b \ln (y) = 3 \ln (y) - a \ln (x) + 3 \ln (x)$ durch $\ln (y)$ .

$\frac{b \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{3 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{- a \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{3 \ln (x)}{\ln (y)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (y)$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{3 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{- a \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{3 \ln (x)}{\ln (y)}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{3 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{- a \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{3 \ln (x)}{\ln (y)}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (y)$ .

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Schritt 9.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \frac{3 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{- a \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{3 \ln (x)}{\ln (y)}$

Schritt 9.3.1.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$b = 3 + \frac{- a \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{3 \ln (x)}{\ln (y)}$

Schritt 9.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = 3 - \frac{a \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{3 \ln (x)}{\ln (y)}$