Algebra Beispiele

$f (x) = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$ als Gleichung.

$y = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3 + \frac{5}{e^{y - 6}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 + \frac{5}{e^{y - 6}} = x$ um.

$3 + \frac{5}{e^{y - 6}} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5}{e^{y - 6}} = x - 3$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten mit $e^{y - 6}$ .

$\frac{5}{e^{y - 6}} e^{y - 6} = (x - 3) e^{y - 6}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y - 6}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{e^{y - 6}} e^{y - 6} = (x - 3) e^{y - 6}$

Schritt 3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 = (x - 3) e^{y - 6}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 = x e^{y - 6} - 3 e^{y - 6}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x e^{y - 6} - 3 e^{y - 6} = 5$ um.

$x e^{y - 6} - 3 e^{y - 6} = 5$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $e^{y - 6}$ aus $x e^{y - 6} - 3 e^{y - 6}$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $e^{y - 6}$ aus $x e^{y - 6}$ heraus.

$e^{y - 6} x - 3 e^{y - 6} = 5$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $e^{y - 6}$ aus $- 3 e^{y - 6}$ heraus.

$e^{y - 6} x + e^{y - 6} \cdot - 3 = 5$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $e^{y - 6}$ aus $e^{y - 6} x + e^{y - 6} \cdot - 3$ heraus.

$e^{y - 6} (x - 3) = 5$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $e^{y - 6} (x - 3) = 5$ durch $x - 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{y - 6} (x - 3) = 5$ durch $x - 3$ .

$\frac{e^{y - 6} (x - 3)}{x - 3} = \frac{5}{x - 3}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{y - 6} (x - 3)}{x - 3} = \frac{5}{x - 3}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $e^{y - 6}$ durch $1$ .

$e^{y - 6} = \frac{5}{x - 3}$

Schritt 3.5.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y - 6}) = \ln (\frac{5}{x - 3})$

Schritt 3.5.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.5.5.1

Zerlege $\ln (e^{y - 6})$ durch Herausziehen von $y - 6$ aus dem Logarithmus.

$(y - 6) \ln (e) = \ln (\frac{5}{x - 3})$

Schritt 3.5.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(y - 6) \cdot 1 = \ln (\frac{5}{x - 3})$

Schritt 3.5.5.3

Mutltipliziere $y - 6$ mit $1$ .

$y - 6 = \ln (\frac{5}{x - 3})$

Schritt 3.5.6

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (\frac{5}{(3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) - 3}) + 6$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\ln (\frac{5}{(3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) - 3}) + 6$ .

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (\frac{5}{0 + \frac{5}{e^{x - 6}}}) + 6$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $0$ und $\frac{5}{e^{x - 6}}$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (\frac{5}{\frac{5}{e^{x - 6}}}) + 6$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (5 (\frac{e^{x - 6}}{5})) + 6$

Schritt 5.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (5 (\frac{e^{x - 6}}{5})) + 6$

Schritt 5.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (e^{x - 6}) + 6$

Schritt 5.2.4.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x - 6$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = (x - 6) \ln (e) + 6$

Schritt 5.2.4.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = (x - 6) \cdot 1 + 6$

Schritt 5.2.4.5

Mutltipliziere $x - 6$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = x - 6 + 6$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6 + 6$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = x + 0$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + \frac{5}{e^{(\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) - 6}}$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 + \frac{5}{e^{(\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) - 6}}$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + \frac{5}{e^{\ln (\frac{5}{x - 3}) + 0}}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\ln (\frac{5}{x - 3})$ und $0$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + \frac{5}{e^{\ln (\frac{5}{x - 3})}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + \frac{5}{\frac{5}{x - 3}}$

Schritt 5.3.4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + 5 (\frac{x - 3}{5})$

Schritt 5.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + 5 (\frac{x - 3}{5})$

Schritt 5.3.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + x - 3$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 + x - 3$ .

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Schritt 5.3.5.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$