Algebra Beispiele

$\log (1 - x) = \frac{1}{5} \log (\frac{4500}{9000})$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\log (\frac{4500}{9000})$ .

$\log (1 - x) = \frac{\log (\frac{4500}{9000})}{5}$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log (1 - x) - \frac{\log (\frac{4500}{9000})}{5} = 0$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4500$ und $9000$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4500$ aus $4500$ heraus.

$\log (1 - x) - \frac{\log (\frac{4500 (1)}{9000})}{5} = 0$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $4500$ aus $9000$ heraus.

$\log (1 - x) - \frac{\log (\frac{4500 \cdot 1}{4500 \cdot 2})}{5} = 0$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (1 - x) - \frac{\log (\frac{4500 \cdot 1}{4500 \cdot 2})}{5} = 0$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (1 - x) - \frac{\log (\frac{1}{2})}{5} = 0$

Schritt 4

Um $\log (1 - x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\log (1 - x) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\log (\frac{1}{2})}{5} = 0$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\log (1 - x)$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\log (1 - x) \cdot 5}{5} - \frac{\log (\frac{1}{2})}{5} = 0$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\log (1 - x) \cdot 5 - \log (\frac{1}{2})}{5} = 0$

Schritt 6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\log (1 - x)$ .

$\frac{5 \log (1 - x) - \log (\frac{1}{2})}{5} = 0$

Schritt 7

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1

Vereinfache $\frac{5 \log (1 - x) - \log (\frac{1}{2})}{5}$ .

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Schritt 7.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1.1

Vereinfache $5 \log (1 - x)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\log ({(1 - x)}^{5}) - \log (\frac{1}{2})}{5} = 0$

Schritt 7.1.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\log (\frac{{(1 - x)}^{5}}{\frac{1}{2}})}{5} = 0$

Schritt 7.1.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\log ({(1 - x)}^{5} \cdot 2)}{5} = 0$

Schritt 7.1.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 - x)}^{5}$ .

$\frac{\log (2 {(1 - x)}^{5})}{5} = 0$

Schritt 7.1.2

Schreibe $\frac{\log (2 {(1 - x)}^{5})}{5}$ als $\frac{1}{5} \log (2 {(1 - x)}^{5})$ um.

$\frac{1}{5} \log (2 {(1 - x)}^{5}) = 0$

Schritt 7.1.3

Vereinfache $\frac{1}{5} \log (2 {(1 - x)}^{5})$ , indem du $\frac{1}{5}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(2 {(1 - x)}^{5})}^{\frac{1}{5}}) = 0$

Schritt 7.1.4

Wende die Produktregel auf $2 {(1 - x)}^{5}$ an.

$\log (2^{\frac{1}{5}} {({(1 - x)}^{5})}^{\frac{1}{5}}) = 0$

Schritt 7.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - x)}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 7.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (2^{\frac{1}{5}} {(1 - x)}^{5 (\frac{1}{5})}) = 0$

Schritt 7.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (2^{\frac{1}{5}} {(1 - x)}^{5 (\frac{1}{5})}) = 0$

Schritt 7.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (2^{\frac{1}{5}} {(1 - x)}^{1}) = 0$

Schritt 7.1.6

Vereinfache.

$\log (2^{\frac{1}{5}} (1 - x)) = 0$

Schritt 7.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (2^{\frac{1}{5}} \cdot 1 + 2^{\frac{1}{5}} (- x)) = 0$

Schritt 7.1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1.8.1

Mutltipliziere $2^{\frac{1}{5}}$ mit $1$ .

$\log (2^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}} (- x)) = 0$

Schritt 7.1.8.2

Stelle die Faktoren in $\log (2^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}} (- x))$ um.

$\log (2^{\frac{1}{5}} - x \cdot 2^{\frac{1}{5}}) = 0$

Schritt 8

Schreibe $\log (2^{\frac{1}{5}} - x \cdot 2^{\frac{1}{5}}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{0} = 2^{\frac{1}{5}} - x \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $2^{\frac{1}{5}} - x \cdot 2^{\frac{1}{5}} = 10^{0}$ um.

$2^{\frac{1}{5}} - x \cdot 2^{\frac{1}{5}} = 10^{0}$

Schritt 9.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2^{\frac{1}{5}} - x \cdot 2^{\frac{1}{5}} = 1$

Schritt 9.3

Subtrahiere $2^{\frac{1}{5}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x \cdot 2^{\frac{1}{5}} = 1 - 2^{\frac{1}{5}}$

Schritt 9.4

Teile jeden Ausdruck in $- x \cdot 2^{\frac{1}{5}} = 1 - 2^{\frac{1}{5}}$ durch $- 2^{\frac{1}{5}}$ und vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \cdot 2^{\frac{1}{5}} = 1 - 2^{\frac{1}{5}}$ durch $- 2^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{- x \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{- 2^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{- 2^{\frac{1}{5}}} + \frac{- 2^{\frac{1}{5}}}{- 2^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 9.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{- 2^{\frac{1}{5}}} + \frac{- 2^{\frac{1}{5}}}{- 2^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{- 2^{\frac{1}{5}}} + \frac{- 2^{\frac{1}{5}}}{- 2^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 9.4.2.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{- 2^{\frac{1}{5}}} + \frac{- 2^{\frac{1}{5}}}{- 2^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 9.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$x = \frac{- 1 (- 1)}{- 2^{\frac{1}{5}}} + \frac{- 2^{\frac{1}{5}}}{- 2^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 9.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}} + \frac{- 2^{\frac{1}{5}}}{- 2^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 9.4.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = - \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}} + \frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 9.4.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}} + \frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 9.4.3.1.5

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}} + 1$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}} + 1$

Dezimalform:

$x = 0.12944943 \dots$