Algebra Beispiele

$\frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{{(x^{5})}^{\frac{1}{3}}} = x^{a}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $x^{a} = \frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{{(x^{5})}^{\frac{1}{3}}}$ um.

$x^{a} = \frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{{(x^{5})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (x^{a}) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{{(x^{5})}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (x^{a})$ durch Herausziehen von $a$ aus dem Logarithmus.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{{(x^{5})}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\ln (\frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{{(x^{5})}^{\frac{1}{3}}})$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{3} x^{2}}}{{(x^{5})}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 4.1.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x \sqrt[3]{x^{2}}}{{(x^{5})}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{5 (\frac{1}{3})}})$

Schritt 4.1.2.1.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{5}{3}}})$

Schritt 4.1.2.2

Bringe $x^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{5}{3}} x^{- 1}})$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $x^{\frac{5}{3}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{5}{3} - 1}})$

Schritt 4.1.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}})$

Schritt 4.1.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}})$

Schritt 4.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}})$

Schritt 4.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{5 - 3}{3}}})$

Schritt 4.1.3.5.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{2}{3}}})$ durch $\ln (x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{2}{3}}})$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{2}{3}}})}{\ln (x)}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{2}{3}}})}{\ln (x)}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{\ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{2}{3}}})}{\ln (x)}$