Algebra Beispiele

$\frac{64 u^{3} + 8}{16 u^{2} - 4}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64 u^{3} + 8$ und $16 u^{2} - 4$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4$ aus $64 u^{3}$ heraus.

$\frac{4 (16 u^{3}) + 8}{16 u^{2} - 4}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 (16 u^{3}) + 4 (2)}{16 u^{2} - 4}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (16 u^{3}) + 4 (2)$ heraus.

$\frac{4 (16 u^{3} + 2)}{16 u^{2} - 4}$

Schritt 1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16 u^{2}$ heraus.

$\frac{4 (16 u^{3} + 2)}{4 (4 u^{2}) - 4}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (16 u^{3} + 2)}{4 (4 u^{2}) + 4 (- 1)}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 u^{2}) + 4 (- 1)$ heraus.

$\frac{4 (16 u^{3} + 2)}{4 (4 u^{2} - 1)}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (16 u^{3} + 2)}{4 (4 u^{2} - 1)}$

Schritt 1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16 u^{3} + 2}{4 u^{2} - 1}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $16 u^{3} + 2$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16 u^{3}$ heraus.

$\frac{2 (8 u^{3}) + 2}{4 u^{2} - 1}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (8 u^{3}) + 2 (1)}{4 u^{2} - 1}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 u^{3}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (8 u^{3} + 1)}{4 u^{2} - 1}$

Schritt 2.2

Schreibe $8 u^{3}$ als ${(2 u)}^{3}$ um.

$\frac{2 ({(2 u)}^{3} + 1)}{4 u^{2} - 1}$

Schritt 2.3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{2 ({(2 u)}^{3} + 1^{3})}{4 u^{2} - 1}$

Schritt 2.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 2 u$ und $b = 1$ .

$\frac{2 ((2 u + 1) ({(2 u)}^{2} - (2 u) \cdot 1 + 1^{2}))}{4 u^{2} - 1}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende die Produktregel auf $2 u$ an.

$\frac{2 ((2 u + 1) (2^{2} u^{2} - (2 u) \cdot 1 + 1^{2}))}{4 u^{2} - 1}$

Schritt 2.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 ((2 u + 1) (4 u^{2} - (2 u) \cdot 1 + 1^{2}))}{4 u^{2} - 1}$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 ((2 u + 1) (4 u^{2} - 2 u \cdot 1 + 1^{2}))}{4 u^{2} - 1}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 ((2 u + 1) (4 u^{2} - 2 u + 1^{2}))}{4 u^{2} - 1}$

Schritt 2.5.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 ((2 u + 1) (4 u^{2} - 2 u + 1))}{4 u^{2} - 1}$

$\frac{2 (2 u + 1) (4 u^{2} - 2 u + 1)}{4 u^{2} - 1}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $4 u^{2}$ als ${(2 u)}^{2}$ um.

$\frac{2 (2 u + 1) (4 u^{2} - 2 u + 1)}{{(2 u)}^{2} - 1}$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 (2 u + 1) (4 u^{2} - 2 u + 1)}{{(2 u)}^{2} - 1^{2}}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 u$ und $b = 1$ .

$\frac{2 (2 u + 1) (4 u^{2} - 2 u + 1)}{(2 u + 1) (2 u - 1)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 u + 1$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 u + 1) (4 u^{2} - 2 u + 1)}{(2 u + 1) (2 u - 1)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u + 1)}{2 u - 1}$