Algebra Beispiele

$(1 - \frac{9 x^{2} + 4}{12 x}) \div (\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}) + 1$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$(\frac{12 x}{12 x} - \frac{9 x^{2} + 4}{12 x}) \div (\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}) + 1$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12 x - (9 x^{2} + 4)}{12 x} \div (\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}) + 1$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$\frac{\frac{12 x - (9 x^{2} + 4)}{12 x}}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{12 x - (9 x^{2} + 4)}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x - (9 x^{2}) - 1 \cdot 4}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{12 x - 9 x^{2} - 1 \cdot 4}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{12 x - 9 x^{2} - 4}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 9 x^{2} + 12 x - 4}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.3.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.3.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 9 \cdot - 4 = 36$ und deren Summe gleich $b = 12$ ist.

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Schritt 1.3.3.5.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{- 9 x^{2} + 12 (x) - 4}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.3.5.1.2

Schreibe $12$ um als $6$ plus $6$

$\frac{- 9 x^{2} + (6 + 6) x - 4}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.3.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 9 x^{2} + 6 x + 6 x - 4}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.3.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.3.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 9 x^{2} + 6 x) + 6 x - 4}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.3.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 x (- 3 x + 2) - 2 (- 3 x + 2)}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.3.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 x + 2$ .

$\frac{(- 3 x + 2) (3 x - 2)}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{(- (3 x) + 2) (3 x - 2)}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.4.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{(- (3 x) - 1 (- 2)) (3 x - 2)}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{- (3 x - 2) (3 x - 2)}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.4.4

Schreibe $- (3 x - 2)$ als $- 1 (3 x - 2)$ um.

$\frac{- 1 (3 x - 2) (3 x - 2)}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.4.5

Potenziere $3 x - 2$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(3 x - 2)}^{1} (3 x - 2))}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.4.6

Potenziere $3 x - 2$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(3 x - 2)}^{1} {(3 x - 2)}^{1})}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 1 {(3 x - 2)}^{1 + 1}}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 1 {(3 x - 2)}^{2}}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.6.1

Um $\frac{1}{3 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1$

Schritt 1.3.6.2

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x}{3 x}$ .

$- \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x}{3 x}} + 1$

Schritt 1.3.6.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6 x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3 x \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x}{3 x}} + 1$

Schritt 1.3.6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{2}{6 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x}{3 x}} + 1$

Schritt 1.3.6.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3 x}{3 x}$ .

$- \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{2}{6 x} - \frac{3 x}{2 (3 x)}} + 1$

Schritt 1.3.6.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{2}{6 x} - \frac{3 x}{6 x}} + 1$

Schritt 1.3.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 - 3 x}{6 x}} + 1$

Schritt 1.3.6.5

Stelle die Terme um.

$- \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{12 x} \cdot \frac{1}{\frac{- 3 x + 2}{6 x}} + 1$

Schritt 1.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{12 x} (1 \frac{6 x}{- 3 x + 2}) + 1$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $\frac{6 x}{- 3 x + 2}$ mit $1$ .

$- \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{12 x} \cdot \frac{6 x}{- 3 x + 2} + 1$

Schritt 1.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 x$ .

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Schritt 1.3.9.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{12 x}$ in den Zähler.

$\frac{- {(3 x - 2)}^{2}}{12 x} \cdot \frac{6 x}{- 3 x + 2} + 1$

Schritt 1.3.9.2

Faktorisiere $6 x$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{- {(3 x - 2)}^{2}}{6 x (2)} \cdot \frac{6 x}{- 3 x + 2} + 1$

Schritt 1.3.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- {(3 x - 2)}^{2}}{6 x \cdot 2} \cdot \frac{6 x}{- 3 x + 2} + 1$

Schritt 1.3.9.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- {(3 x - 2)}^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 3 x + 2} + 1$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $\frac{- {(3 x - 2)}^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{- 3 x + 2}$ .

$\frac{- {(3 x - 2)}^{2}}{2 (- 3 x + 2)} + 1$

Schritt 1.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(3 x - 2)}^{2}$ und $- 3 x + 2$ .

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Schritt 1.3.11.1

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{- {(- (- 3 x) - 2)}^{2}}{2 (- 3 x + 2)} + 1$

Schritt 1.3.11.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{- {(- (- 3 x) - 1 (2))}^{2}}{2 (- 3 x + 2)} + 1$

Schritt 1.3.11.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 3 x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- {(- (- 3 x + 2))}^{2}}{2 (- 3 x + 2)} + 1$

Schritt 1.3.11.4

Schreibe $- (- 3 x + 2)$ als $- 1 (- 3 x + 2)$ um.

$\frac{- {(- 1 (- 3 x + 2))}^{2}}{2 (- 3 x + 2)} + 1$

Schritt 1.3.11.5

Wende die Produktregel auf $- 1 (- 3 x + 2)$ an.

$\frac{- ({(- 1)}^{2} {(- 3 x + 2)}^{2})}{2 (- 3 x + 2)} + 1$

Schritt 1.3.11.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- (1 {(- 3 x + 2)}^{2})}{2 (- 3 x + 2)} + 1$

Schritt 1.3.11.7

Mutltipliziere ${(- 3 x + 2)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- {(- 3 x + 2)}^{2}}{2 (- 3 x + 2)} + 1$

Schritt 1.3.11.8

Faktorisiere $- 3 x + 2$ aus $- {(- 3 x + 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{(- 3 x + 2) (- (- 3 x + 2))}{2 (- 3 x + 2)} + 1$

Schritt 1.3.11.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.11.9.1

Faktorisiere $- 3 x + 2$ aus $2 (- 3 x + 2)$ heraus.

$\frac{(- 3 x + 2) (- (- 3 x + 2))}{(- 3 x + 2) \cdot 2} + 1$

Schritt 1.3.11.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 3 x + 2) (- (- 3 x + 2))}{(- 3 x + 2) \cdot 2} + 1$

Schritt 1.3.11.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- (- 3 x + 2)}{2} + 1$

Schritt 1.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{- 3 x + 2}{2} + 1$

Schritt 1.4

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 1.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{- 3 x + 2}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (- 3 x + 2) + 2}{2}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (- 3 x) - 1 \cdot 2 + 2}{2}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x - 1 \cdot 2 + 2}{2}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 x - 2 + 2}{2}$

Schritt 2.4

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{3 x + 0}{2}$

Schritt 2.5

Addiere $3 x$ und $0$ .

$\frac{3 x}{2}$