Algebra Beispiele

$\sqrt{9 y^{2} + 15 y + 18} = \sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{9 y^{2} + 15 y + 18}}^{2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 y^{2} + 15 y + 18}$ als ${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{1} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe ${\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$ als $5 y^{2} - 5 y - 7$ um.

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Schritt 2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}$ als ${(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {({(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{1}$

Schritt 2.3.1.5

Vereinfache.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = 5 y^{2} - 5 y - 7$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $5 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} + 15 y + 18 - 5 y^{2} = - 5 y - 7$

Schritt 3.1.2

Addiere $5 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} + 15 y + 18 - 5 y^{2} + 5 y = - 7$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $5 y^{2}$ von $9 y^{2}$ .

$4 y^{2} + 15 y + 18 + 5 y = - 7$

Schritt 3.1.4

Addiere $15 y$ und $5 y$ .

$4 y^{2} + 20 y + 18 = - 7$

Schritt 3.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} + 20 y + 18 + 7 = 0$

Schritt 3.3

Addiere $18$ und $7$ .

$4 y^{2} + 20 y + 25 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $4 y^{2}$ als ${(2 y)}^{2}$ um.

${(2 y)}^{2} + 20 y + 25 = 0$

Schritt 3.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

${(2 y)}^{2} + 20 y + 5^{2} = 0$

Schritt 3.4.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$20 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 5$

Schritt 3.4.4

Schreibe das Polynom neu.

${(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Schritt 3.4.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 2 y$ und $b = 5$ .

${(2 y + 5)}^{2} = 0$

Schritt 3.5

Setze $2 y + 5$ gleich $0$ .

$2 y + 5 = 0$

Schritt 3.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = - 5$

Schritt 3.6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.6.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = - \frac{5}{2}$

Dezimalform:

$y = - 2.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$y = - 2 \frac{1}{2}$