Algebra Beispiele

$\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x - 2} + \frac{x^{2} + 2}{x^{2} - x - 2}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x - 2} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Schritt 2

Um $\frac{1}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Schritt 3

Um $- \frac{x}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 2}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 2) (x + 1)$ um.

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 2 - x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 2 - x (x + 1) + x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 2)}$

Schritt 5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 - x (x + 1) + x^{2} + 2$ .

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Schritt 5.3.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{x - x (x + 1) + x^{2} + 0}{(x + 1) (x - 2)}$

Schritt 5.3.2

Addiere $x - x (x + 1) + x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x - x (x + 1) + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - x \cdot x - x \cdot 1 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{x - (x \cdot x) - x \cdot 1 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x - x^{2} - x \cdot 1 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - x^{2} - x + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 7.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - x^{2} - x + x^{2}$ .

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Schritt 7.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{- x^{2} + 0 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Schritt 7.1.2

Addiere $- x^{2}$ und $0$ .

$\frac{- x^{2} + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Schritt 7.1.3

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 2)}$

Schritt 7.2

Dividiere $0$ durch $(x + 1) (x - 2)$ .

$0$