Algebra Beispiele

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} = x^{a}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $x^{a} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ um.

$x^{a} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (x^{a}) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (x^{a})$ durch Herausziehen von $a$ aus dem Logarithmus.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$ .

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})$

Schritt 4.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})$

Schritt 4.1.2.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})$

Schritt 4.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})$

Schritt 4.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})$

Schritt 4.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 4.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 4.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 4.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 4.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{1}})$

Schritt 4.1.2.6.5

Vereinfache.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x})$

Schritt 4.1.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{1 - \frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2 - 1}{2}}})$

Schritt 4.1.4.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$ durch $\ln (x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$