Algebra Beispiele

$\frac{\frac{3}{x - 2} - \frac{6}{x^{2} - 4}}{\frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{3}{x - 2} - \frac{6}{x^{2} - 4}}{\frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}}$ mit $\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)}$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)} \cdot \frac{\frac{3}{x - 2} - \frac{6}{x^{2} - 4}}{\frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (\frac{3}{x - 2} - \frac{6}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (\frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x - 2})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{3}{x - 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{6}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{3}{x + 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x - 2) ((x^{2} - 4) (x + 2)) \frac{3}{x - 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{6}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{3}{x + 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) ((x^{2} - 4) (x + 2)) \frac{3}{x - 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{6}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{3}{x + 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{6}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{3}{x + 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 4$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{x^{2} - 4}$ in den Zähler.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{- 6}{x^{2} - 4}}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{3}{x + 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 3 + (x^{2} - 4) ((x - 2) (x + 2)) \frac{- 6}{x^{2} - 4}}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{3}{x + 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 3 + (x^{2} - 4) ((x - 2) (x + 2)) \frac{- 6}{x^{2} - 4}}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{3}{x + 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 3 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 6}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{3}{x + 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 3 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 6}{(x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 4)) \frac{3}{x + 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 3 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 6}{(x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 4)) \frac{3}{x + 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 3 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 6}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 3 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 6}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x - 2) ((x^{2} - 4) (x + 2)) \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 3 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 6}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x - 2) ((x^{2} - 4) (x + 2)) \frac{1}{x - 2}}$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 3 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 6}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x^{2} - 4) (x + 2)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $(x + 2) \cdot 3$ aus $(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 3 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 6$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $(x + 2) \cdot 3$ aus $(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 3$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (x^{2} - 4) + (x - 2) (x + 2) \cdot - 6}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x^{2} - 4) (x + 2)}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $(x + 2) \cdot 3$ aus $(x - 2) (x + 2) \cdot - 6$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (x^{2} - 4) + (x + 2) \cdot 3 ((x - 2) \cdot - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x^{2} - 4) (x + 2)}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $(x + 2) \cdot 3$ aus $(x + 2) \cdot 3 (x^{2} - 4) + (x + 2) \cdot 3 ((x - 2) \cdot - 2)$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (x^{2} - 4 + (x - 2) \cdot - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x^{2} - 4) (x + 2)}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (x^{2} - 4 + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x^{2} - 4) (x + 2)}$

Schritt 4.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (x^{2} - 4 - 2 \cdot x - 2 \cdot - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x^{2} - 4) (x + 2)}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (x^{2} - 4 - 2 \cdot x + 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x^{2} - 4) (x + 2)}$

Schritt 4.5

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (x^{2} - 2 x + 0)}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x^{2} - 4) (x + 2)}$

Schritt 4.6

Addiere $x^{2} - 2 x$ und $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (x^{2} - 2 x)}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x^{2} - 4) (x + 2)}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (x \cdot x - 2 x)}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x^{2} - 4) (x + 2)}$

Schritt 4.7.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (x \cdot x + x \cdot - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x^{2} - 4) (x + 2)}$

Schritt 4.7.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 2$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (x (x - 2))}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x^{2} - 4) (x + 2)}$

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x^{2} - 4) (x + 2)}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus $(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3 + (x^{2} - 4) (x + 2)$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus $(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 3$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x^{2} - 4) ((x - 2) \cdot 3) + (x^{2} - 4) (x + 2)}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus $(x^{2} - 4) ((x - 2) \cdot 3) + (x^{2} - 4) (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x^{2} - 4) ((x - 2) \cdot 3 + x + 2)}$

Schritt 5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x^{2} - 2^{2}) ((x - 2) \cdot 3 + x + 2)}$

Schritt 5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) ((x - 2) \cdot 3 + x + 2)}$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) (x \cdot 3 - 2 \cdot 3 + x + 2)}$

Schritt 5.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) (3 \cdot x - 2 \cdot 3 + x + 2)}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) (3 \cdot x - 6 + x + 2)}$

Schritt 5.7

Addiere $3 x$ und $x$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) (4 x - 6 + 2)}$

Schritt 5.8

Addiere $- 6$ und $2$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) (4 x - 4)}$

Schritt 5.9

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 4$ heraus.

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Schritt 5.9.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) (4 (x) - 4)}$

Schritt 5.9.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) (4 (x) + 4 (- 1))}$

Schritt 5.9.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (- 1)$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) (4 (x - 1))}$

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) \cdot 4 (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) \cdot 4 (x - 1)}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x (x - 2)}{(x - 2) \cdot 4 (x - 1)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x (x - 2)}{(x - 2) \cdot 4 (x - 1)}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x}{4 (x - 1)}$