Algebra Beispiele

$\frac{x^{5} - 12 x^{4} + 27 x^{3}}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5} - 12 x^{4} + 27 x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{x^{3} x^{2} - 12 x^{4} + 27 x^{3}}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 12 x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{3} x^{2} + x^{3} (- 12 x) + 27 x^{3}}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $27 x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{3} x^{2} + x^{3} (- 12 x) + x^{3} \cdot 27}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 12 x)$ heraus.

$\frac{x^{3} (x^{2} - 12 x) + x^{3} \cdot 27}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (x^{2} - 12 x) + x^{3} \cdot 27$ heraus.

$\frac{x^{3} (x^{2} - 12 x + 27)}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $27$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 9, - 3$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x^{3} ((x - 9) (x - 3))}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 72$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x^{2}) - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 72$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot - 36$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x^{2} - 36)}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Schritt 2.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x^{2} - 6^{2})}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 6$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} - 90 x + 324$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x^{2}) - 90 x + 324}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 90 x$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x^{2}) + 6 (- 15 x) + 324}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $6$ aus $324$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 x^{2} + 6 (- 15 x) + 6 \cdot 54}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 (- 15 x)$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x^{2} - 15 x) + 6 \cdot 54}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2} - 15 x) + 6 \cdot 54$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x^{2} - 15 x + 54)}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2} - 15 x + 54$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $54$ und deren Summe $- 15$ ist.

$- 9, - 6$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 ((x - 9) (x - 6))}$

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x - 9) (x - 6)}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 9$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x - 9$ aus $x^{3} (x - 9) (x - 3)$ heraus.

$\frac{(x - 9) (x^{3} (x - 3))}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x - 9) (x - 6)}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x - 9$ aus $6 (x - 9) (x - 6)$ heraus.

$\frac{(x - 9) (x^{3} (x - 3))}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{(x - 9) (6 (x - 6))}$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 9) (x^{3} (x - 3))}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{(x - 9) (6 (x - 6))}$

Schritt 4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3} (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x - 6)}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 6$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x + 6$ aus $2 (x + 6) (x - 6)$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{(x + 6) (2 (x - 6))}{6 (x - 6)}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{(x + 6) (2 (x - 6))}{6 (x - 6)}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} (x - 3) \cdot \frac{2 (x - 6)}{6 (x - 6)}$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{2 (x - 6)}{6 (x - 6)}$ und $x^{3}$ .

$\frac{2 (x - 6) x^{3}}{6 (x - 6)} (x - 3)$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (x - 6) x^{3}$ heraus.

$\frac{2 ((x - 6) x^{3})}{6 (x - 6)} (x - 3)$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 (x - 6)$ heraus.

$\frac{2 ((x - 6) x^{3})}{2 (3 (x - 6))} (x - 3)$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((x - 6) x^{3})}{2 (3 (x - 6))} (x - 3)$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 6) x^{3}}{3 (x - 6)} (x - 3)$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 6$ .

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Schritt 4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 6) x^{3}}{3 (x - 6)} (x - 3)$

Schritt 4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3}}{3} (x - 3)$

Schritt 4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3}}{3} x + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Schritt 5

Multipliziere $\frac{x^{3}}{3} x$ .

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{x^{3}}{3}$ und $x$ .

$\frac{x^{3} x}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Schritt 5.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} x^{1}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3 + 1}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Schritt 5.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot (3 (- 1))$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{4}}{3} + x^{3} \cdot - 1$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{3} - 1 \cdot x^{3}$

Schritt 7.2

Schreibe $- 1 x^{3}$ als $- x^{3}$ um.

$\frac{x^{4}}{3} - x^{3}$

Schritt 8

Um $- x^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{4}}{3} - x^{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Kombiniere $- x^{3}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{4}}{3} + \frac{- x^{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{4} - x^{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4} - x^{3} \cdot 3$ heraus.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{3} x - x^{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- x^{3} \cdot 3$ heraus.

$\frac{x^{3} x + x^{3} (- 1 \cdot 3)}{3}$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x + x^{3} (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 1 \cdot 3)}{3}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{x^{3} (x - 3)}{3}$