Algebra Beispiele

$y = {(\frac{3}{2})}^{x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{3}{2})}^{y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{3}{2})}^{y} = x$ um.

${(\frac{3}{2})}^{y} = x$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{3}{2})}^{y}) = \ln (x)$

Schritt 2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.3.1

Zerlege $\ln ({(\frac{3}{2})}^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\ln (\frac{3}{2})$ als $\ln (3) - \ln (2)$ um.

$y (\ln (3) - \ln (2)) = \ln (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$ durch $\ln (\frac{3}{2})$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$ durch $\ln (\frac{3}{2})$ .

$\frac{y \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})} = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (\frac{3}{2})$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})} = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{\ln ({(\frac{3}{2})}^{x})}{\ln (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.3

Zerlege $\ln ({(\frac{3}{2})}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{x \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (\frac{3}{2})$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{x \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}) = {(\frac{3}{2})}^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}$

Schritt 4.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}) = \frac{3^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}}{2^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}}$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$