Algebra Beispiele

${(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x} = 1$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x}) = \ln (1)$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x})$ durch Herausziehen von $4 - x$ aus dem Logarithmus.

$(4 - x) \ln (2^{x^{2} - 2 x}) = \ln (1)$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (2^{x^{2} - 2 x})$ durch Herausziehen von $x^{2} - 2 x$ aus dem Logarithmus.

$(4 - x) ((x^{2} - 2 x) \ln (2)) = \ln (1)$

Schritt 2.3

Entferne die Klammern.

$(4 - x) (x^{2} - 2 x) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(4 - x) (x^{2} - 2 x) \ln (2)$ .

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $(4 - x) (x^{2} - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 (x^{2} - 2 x) - x (x^{2} - 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} + 4 (- 2 x) - x (x^{2} - 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} + 4 (- 2 x) - x \cdot x^{2} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x \cdot x^{2} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 8 x - (x^{2} x) - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 x^{2} - 8 x - (x^{2} x^{1}) - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 x^{2} - 8 x - x^{2 + 1} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 x \cdot x) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1.4.1

Bewege $x$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 (x \cdot x)) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 x^{2}) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} + 2 x^{2}) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $4 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$(6 x^{2} - 8 x - x^{3}) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) - x^{3} \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) - x^{3} \ln (2) = 0$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Bewege $- 8 x \ln (2)$ .

$6 x^{2} \ln (2) - x^{3} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Schritt 5.2

Stelle $6 x^{2} \ln (2)$ und $- x^{3} \ln (2)$ um.

$- x^{3} \ln (2) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere $x \ln (2)$ aus $- x^{3} \ln (2) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2)$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x \ln (2)$ aus $- x^{3} \ln (2)$ heraus.

$x \ln (2) (- x^{2}) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x \ln (2)$ aus $6 x^{2} \ln (2)$ heraus.

$x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x) - 8 x \ln (2) = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $x \ln (2)$ aus $- 8 x \ln (2)$ heraus.

$x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x) + x \ln (2) \cdot - 8 = 0$

Schritt 6.4

Faktorisiere $x \ln (2)$ aus $x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x)$ heraus.

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 x) + x \ln (2) \cdot - 8 = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $x \ln (2)$ aus $x \ln (2) (- x^{2} + 6 x) + x \ln (2) \cdot - 8$ heraus.

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 x - 8) = 0$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 8 = 8$ und deren Summe gleich $b = 6$ ist.

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 (x) - 8) = 0$

Schritt 7.1.1.2

Schreibe $6$ um als $2$ plus $4$

$x \ln (2) (- x^{2} + (2 + 4) x - 8) = 0$

Schritt 7.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (2) (- x^{2} + 2 x + 4 x - 8) = 0$

Schritt 7.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x \ln (2) ((- x^{2} + 2 x) + 4 x - 8) = 0$

Schritt 7.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x \ln (2) (x (- x + 2) - 4 (- x + 2)) = 0$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$x \ln (2) ((- x + 2) (x - 4)) = 0$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$x \ln (2) (- x + 2) (x - 4) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$- x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 9

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 10

Setze $- x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $- x + 2$ gleich $0$ .

$- x + 2 = 0$

Schritt 10.2

Löse $- x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 10.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 11

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x \ln (2) (- x + 2) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2, 4$