Algebra Beispiele

$4 z - 1 = \sqrt{25 z^{2} - 14 z + 2}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{25 z^{2} - 14 z + 2} = 4 z - 1$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{25 z^{2} - 14 z + 2}}^{2} = {(4 z - 1)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{25 z^{2} - 14 z + 2}$ als ${(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 z - 1)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 z - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 z - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{1} = {(4 z - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = {(4 z - 1)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(4 z - 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(4 z - 1)}^{2}$ als $(4 z - 1) (4 z - 1)$ um.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = (4 z - 1) (4 z - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(4 z - 1) (4 z - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 z (4 z - 1) - 1 (4 z - 1)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 z (4 z) + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z - 1)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 z (4 z) + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 \cdot 4 z \cdot z + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $z$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 \cdot 4 (z \cdot z) + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 \cdot 4 z^{2} + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} - 4 z - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} - 4 z - 4 z - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} - 4 z - 4 z + 1$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $4 z$ von $- 4 z$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} - 8 z + 1$

Schritt 4

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $z$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $16 z^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 z^{2} - 14 z + 2 - 16 z^{2} = - 8 z + 1$

Schritt 4.1.2

Addiere $8 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$25 z^{2} - 14 z + 2 - 16 z^{2} + 8 z = 1$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $16 z^{2}$ von $25 z^{2}$ .

$9 z^{2} - 14 z + 2 + 8 z = 1$

Schritt 4.1.4

Addiere $- 14 z$ und $8 z$ .

$9 z^{2} - 6 z + 2 = 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 z^{2} - 6 z + 2 - 1 = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$9 z^{2} - 6 z + 1 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.4.1

Schreibe $9 z^{2}$ als ${(3 z)}^{2}$ um.

${(3 z)}^{2} - 6 z + 1 = 0$

Schritt 4.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

${(3 z)}^{2} - 6 z + 1^{2} = 0$

Schritt 4.4.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 z = 2 \cdot (3 z) \cdot 1$

Schritt 4.4.4

Schreibe das Polynom neu.

${(3 z)}^{2} - 2 \cdot (3 z) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 4.4.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 3 z$ und $b = 1$ .

${(3 z - 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.5

Setze $3 z - 1$ gleich $0$ .

$3 z - 1 = 0$

Schritt 4.6

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 4.6.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 z = 1$

Schritt 4.6.2

Teile jeden Ausdruck in $3 z = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 z = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 z}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 z}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.6.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{1}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$z = \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$z = 0.\overline{3}$