Algebra Beispiele

$\frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z} = x^{a} y^{b} z^{c}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $x^{a} y^{b} z^{c} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}$ um.

$x^{a} y^{b} z^{c} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $x^{a} y^{b} z^{c} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}$ durch $y^{b} z^{c}$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{a} y^{b} z^{c} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}$ durch $y^{b} z^{c}$ .

$\frac{x^{a} y^{b} z^{c}}{y^{b} z^{c}} = \frac{\frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}}{y^{b} z^{c}}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{b}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{a} y^{b} z^{c}}{y^{b} z^{c}} = \frac{\frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}}{y^{b} z^{c}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{a} z^{c}}{z^{c}} = \frac{\frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}}{y^{b} z^{c}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z^{c}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{a} z^{c}}{z^{c}} = \frac{\frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}}{y^{b} z^{c}}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $x^{a}$ durch $1$ .

$x^{a} = \frac{\frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}}{y^{b} z^{c}}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z} \cdot \frac{1}{y^{b} z^{c}}$

Schritt 2.3.2

Kombinieren.

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3} \cdot 1}{x^{3} y z (y^{b} z^{c})}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $y$ mit $y^{b}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1

Bewege $y^{b}$ .

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3} \cdot 1}{x^{3} (y^{b} y) z \cdot z^{c}}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $y^{b}$ mit $y$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3} \cdot 1}{x^{3} (y^{b} y^{1}) z \cdot z^{c}}$

Schritt 2.3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3} \cdot 1}{x^{3} y^{b + 1} z \cdot z^{c}}$

Schritt 2.3.4

Multipliziere $z$ mit $z^{c}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.4.1

Bewege $z^{c}$ .

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3} \cdot 1}{x^{3} y^{b + 1} (z^{c} z)}$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $z^{c}$ mit $z$ .

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Schritt 2.3.4.2.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3} \cdot 1}{x^{3} y^{b + 1} (z^{c} z^{1})}$

Schritt 2.3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3} \cdot 1}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere ${(x^{5} y z^{4})}^{3}$ mit $1$ .

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1

Wende die Produktregel auf $x^{5} y z^{4}$ an.

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y)}^{3} {(z^{4})}^{3}}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Schritt 2.3.6.2

Wende die Produktregel auf $x^{5} y$ an.

$x^{a} = \frac{{(x^{5})}^{3} y^{3} {(z^{4})}^{3}}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Schritt 2.3.6.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{3}$ .

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Schritt 2.3.6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{a} = \frac{x^{5 \cdot 3} y^{3} {(z^{4})}^{3}}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Schritt 2.3.6.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$x^{a} = \frac{x^{15} y^{3} {(z^{4})}^{3}}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Schritt 2.3.6.4

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{4})}^{3}$ .

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Schritt 2.3.6.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{a} = \frac{x^{15} y^{3} z^{4 \cdot 3}}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Schritt 2.3.6.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x^{a} = \frac{x^{15} y^{3} z^{12}}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{15}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.3.7.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{15} y^{3} z^{12}$ heraus.

$x^{a} = \frac{x^{3} (x^{12} y^{3} z^{12})}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Schritt 2.3.7.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}$ heraus.

$x^{a} = \frac{x^{3} (x^{12} y^{3} z^{12})}{x^{3} (y^{b + 1} z^{c + 1})}$

Schritt 2.3.7.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{a} = \frac{x^{3} (x^{12} y^{3} z^{12})}{x^{3} (y^{b + 1} z^{c + 1})}$

Schritt 2.3.7.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{a} = \frac{x^{12} y^{3} z^{12}}{y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{b + 1}$ .

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Schritt 2.3.7.2.1.1

Faktorisiere $y^{b + 1}$ aus $x^{12} y^{3} z^{12}$ heraus.

$x^{a} = \frac{y^{b + 1} (x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12})}{y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Schritt 2.3.7.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.1.2.1

Faktorisiere $y^{b + 1}$ aus $y^{b + 1} z^{c + 1}$ heraus.

$x^{a} = \frac{y^{b + 1} (x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12})}{y^{b + 1} (z^{c + 1})}$

Schritt 2.3.7.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{a} = \frac{y^{b + 1} (x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12})}{y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Schritt 2.3.7.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{a} = \frac{x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12}}{z^{c + 1}}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $z^{12}$ und $z^{c + 1}$ .

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Faktorisiere $z^{c + 1}$ aus $x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12}$ heraus.

$x^{a} = \frac{z^{c + 1} (x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12 - (c + 1)})}{z^{c + 1}}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$x^{a} = \frac{z^{c + 1} (x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12 - (c + 1)})}{z^{c + 1} \cdot 1}$

Schritt 2.3.7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{a} = \frac{z^{c + 1} (x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12 - (c + 1)})}{z^{c + 1} \cdot 1}$

Schritt 2.3.7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{a} = \frac{x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12 - (c + 1)}}{1}$

Schritt 2.3.7.2.2.2.4

Dividiere $x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12 - (c + 1)}$ durch $1$ .

$x^{a} = x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12 - (c + 1)}$

Schritt 2.3.7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.7.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{a} = x^{12} y^{3 - b - 1 \cdot 1} z^{12 - (c + 1)}$

Schritt 2.3.7.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{a} = x^{12} y^{3 - b - 1} z^{12 - (c + 1)}$

Schritt 2.3.7.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$x^{a} = x^{12} y^{- b + 2} z^{12 - (c + 1)}$

Schritt 2.3.7.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.7.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{a} = x^{12} y^{- b + 2} z^{12 - c - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.3.7.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{a} = x^{12} y^{- b + 2} z^{12 - c - 1}$

Schritt 2.3.7.6

Subtrahiere $1$ von $12$ .

$x^{a} = x^{12} y^{- b + 2} z^{- c + 11}$

Schritt 3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (x^{a}) = \ln (x^{12} y^{- b + 2} z^{- c + 11})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (x^{a})$ durch Herausziehen von $a$ aus dem Logarithmus.

$a \ln (x) = \ln (x^{12} y^{- b + 2} z^{- c + 11})$

Schritt 5

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 5.1

Schreibe $\ln (x^{12} y^{- b + 2} z^{- c + 11})$ als $\ln (x^{12} y^{- b + 2}) + \ln (z^{- c + 11})$ um.

$a \ln (x) = \ln (x^{12} y^{- b + 2}) + \ln (z^{- c + 11})$

Schritt 5.2

Schreibe $\ln (x^{12} y^{- b + 2})$ als $\ln (x^{12}) + \ln (y^{- b + 2})$ um.

$a \ln (x) = \ln (x^{12}) + \ln (y^{- b + 2}) + \ln (z^{- c + 11})$

Schritt 5.3

Zerlege $\ln (x^{12})$ durch Herausziehen von $12$ aus dem Logarithmus.

$a \ln (x) = 12 \ln (x) + \ln (y^{- b + 2}) + \ln (z^{- c + 11})$

Schritt 5.4

Zerlege $\ln (y^{- b + 2})$ durch Herausziehen von $- b + 2$ aus dem Logarithmus.

$a \ln (x) = 12 \ln (x) + (- b + 2) \ln (y) + \ln (z^{- c + 11})$

Schritt 5.5

Zerlege $\ln (z^{- c + 11})$ durch Herausziehen von $- c + 11$ aus dem Logarithmus.

$a \ln (x) = 12 \ln (x) + (- b + 2) \ln (y) + (- c + 11) \ln (z)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a \ln (x) = 12 \ln (x) - b \ln (y) + 2 \ln (y) + (- c + 11) \ln (z)$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a \ln (x) = 12 \ln (x) - b \ln (y) + 2 \ln (y) - c \ln (z) + 11 \ln (z)$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$a \ln (x) - 12 \ln (x) + b \ln (y) - 2 \ln (y) + c \ln (z) - 11 \ln (z) = 0$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Addiere $12 \ln (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a \ln (x) + b \ln (y) - 2 \ln (y) + c \ln (z) - 11 \ln (z) = 12 \ln (x)$

Schritt 8.2

Subtrahiere $b \ln (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a \ln (x) - 2 \ln (y) + c \ln (z) - 11 \ln (z) = 12 \ln (x) - b \ln (y)$

Schritt 8.3

Addiere $2 \ln (y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a \ln (x) + c \ln (z) - 11 \ln (z) = 12 \ln (x) - b \ln (y) + 2 \ln (y)$

Schritt 8.4

Subtrahiere $c \ln (z)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a \ln (x) - 11 \ln (z) = 12 \ln (x) - b \ln (y) + 2 \ln (y) - c \ln (z)$

Schritt 8.5

Addiere $11 \ln (z)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a \ln (x) = 12 \ln (x) - b \ln (y) + 2 \ln (y) - c \ln (z) + 11 \ln (z)$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $a \ln (x) = 12 \ln (x) - b \ln (y) + 2 \ln (y) - c \ln (z) + 11 \ln (z)$ durch $\ln (x)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $a \ln (x) = 12 \ln (x) - b \ln (y) + 2 \ln (y) - c \ln (z) + 11 \ln (z)$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{12 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- c \ln (z)}{\ln (x)} + \frac{11 \ln (z)}{\ln (x)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{12 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- c \ln (z)}{\ln (x)} + \frac{11 \ln (z)}{\ln (x)}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{12 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- c \ln (z)}{\ln (x)} + \frac{11 \ln (z)}{\ln (x)}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 9.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{12 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- c \ln (z)}{\ln (x)} + \frac{11 \ln (z)}{\ln (x)}$

Schritt 9.3.1.1.2

Dividiere $12$ durch $1$ .

$a = 12 + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- c \ln (z)}{\ln (x)} + \frac{11 \ln (z)}{\ln (x)}$

Schritt 9.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = 12 - \frac{b \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- c \ln (z)}{\ln (x)} + \frac{11 \ln (z)}{\ln (x)}$

Schritt 9.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = 12 - \frac{b \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (x)} - \frac{c \ln (z)}{\ln (x)} + \frac{11 \ln (z)}{\ln (x)}$