Algebra Beispiele

$\frac{\frac{5}{x - 3} - \frac{1}{x + 3}}{\frac{3}{x^{2} - 9}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{5}{x - 3} - \frac{1}{x + 3}) \frac{x^{2} - 9}{3}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(\frac{5}{x - 3} - \frac{1}{x + 3}) \frac{x^{2} - 3^{2}}{3}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(\frac{5}{x - 3} - \frac{1}{x + 3}) \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 3

Um $\frac{5}{x - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$(\frac{5}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{1}{x + 3}) \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 4

Um $- \frac{1}{x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$(\frac{5}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}) \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 3) (x + 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{5}{x - 3}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$(\frac{5 (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} - \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}) \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 3}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$(\frac{5 (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} - \frac{x - 3}{(x + 3) (x - 3)}) \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $(x - 3) (x + 3)$ um.

$(\frac{5 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{x - 3}{(x + 3) (x - 3)}) \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 (x + 3) - (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x + 5 \cdot 3 - (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{5 x + 15 - (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x + 15 - x - - 3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{5 x + 15 - x + 3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 7.5

Subtrahiere $x$ von $5 x$ .

$\frac{4 x + 15 + 3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 7.6

Addiere $15$ und $3$ .

$\frac{4 x + 18}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $2$ aus $4 x + 18$ heraus.

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Schritt 7.7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x) + 18}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 7.7.2

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 (2 x) + 2 (9)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 7.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (9)$ heraus.

$\frac{2 (2 x + 9)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x + 3) (x - 3)$ .

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Schritt 8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x + 9)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Schritt 8.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (2 x + 9) \frac{1}{3}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{2}{3} (2 x + 9)$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{2}{3} \cdot 9$

Schritt 9

Multipliziere $\frac{2}{3} (2 x)$ .

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Schritt 9.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot 9$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{2}{3} \cdot 9$

Schritt 9.3

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot 9$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{4 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 (3))$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3)$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x}{3} + 2 \cdot 3$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4 x}{3} + 6$

Schritt 12

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 x}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 13

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.1

Kombiniere $6$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

Schritt 13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x + 6 \cdot 3}{3}$

Schritt 14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x + 6 \cdot 3$ heraus.

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Schritt 14.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x) + 6 \cdot 3}{3}$

Schritt 14.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2 (2 x) + 2 (3 \cdot 3)}{3}$

Schritt 14.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (3 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{2 (2 x + 3 \cdot 3)}{3}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 (2 x + 9)}{3}$