Algebra Beispiele

$y = \sqrt{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{y^{2} - 4}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{y^{2} - 4} = x$ um.

$\sqrt{y^{2} - 4} = x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y^{2} - 4}}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y^{2} - 4}$ als ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y^{2} - 4)}^{1} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$y^{2} - 4 = x^{2}$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = x^{2} + 4$

Schritt 2.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 4}$

Schritt 2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

Schritt 2.4.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

Schritt 2.4.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ und $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

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Schritt 4.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x^{2} + 4}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} + 4}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 4 \geq 0$

Schritt 4.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq - 4$

Schritt 4.3.2.2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 4.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ keine inverse Funktion von $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 5