Algebra Beispiele

$y + 2 x + 1 = 0$ $4 y - 4 x^{2} - 12 x = - 7$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y + 1 = - 2 x$

$4 y - 4 x^{2} - 12 x = - 7$

Schritt 1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2 x - 1$

$4 y - 4 x^{2} - 12 x = - 7$

$y = - 2 x - 1$

$4 y - 4 x^{2} - 12 x = - 7$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 2 x - 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $4 y - 4 x^{2} - 12 x = - 7$ durch $- 2 x - 1$ .

$4 (- 2 x - 1) - 4 x^{2} - 12 x = - 7$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $4 (- 2 x - 1) - 4 x^{2} - 12 x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1 - 4 x^{2} - 12 x = - 7$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$- 8 x + 4 \cdot - 1 - 4 x^{2} - 12 x = - 7$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 2.2.1.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 8 x - 4 - 4 x^{2} - 12 x = - 7$

$y = - 2 x - 1$

$- 8 x - 4 - 4 x^{2} - 12 x = - 7$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $12 x$ von $- 8 x$ .

$- 20 x - 4 - 4 x^{2} = - 7$

$y = - 2 x - 1$

$- 20 x - 4 - 4 x^{2} = - 7$

$y = - 2 x - 1$

$- 20 x - 4 - 4 x^{2} = - 7$

$y = - 2 x - 1$

$- 20 x - 4 - 4 x^{2} = - 7$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3

Löse in $- 20 x - 4 - 4 x^{2} = - 7$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 20 x - 4 - 4 x^{2} + 7 = 0$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.1.2

Addiere $- 4$ und $7$ .

$- 20 x - 4 x^{2} + 3 = 0$

$y = - 2 x - 1$

$- 20 x - 4 x^{2} + 3 = 0$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = - 4$ , $b = - 20$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 3)}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 4 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 4 \cdot 3$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 16 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 48}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 48}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.4.1.3

Addiere $400$ und $48$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{448}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe $448$ als $8^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 3.4.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $448$ heraus.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{64 (7)}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.4.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{20 \pm 8 \sqrt{7}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

$x = \frac{20 \pm 8 \sqrt{7}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$x = \frac{20 \pm 8 \sqrt{7}}{- 8}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 8 \sqrt{7}}{- 8}$ .

$x = \frac{5 \pm 2 \sqrt{7}}{- 2}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = - 2 x - 1$

$x = - \frac{5 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 4 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 4 \cdot 3$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 16 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 48}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 48}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.5.1.3

Addiere $400$ und $48$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{448}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe $448$ als $8^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 3.5.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $448$ heraus.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{64 (7)}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.5.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{20 \pm 8 \sqrt{7}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

$x = \frac{20 \pm 8 \sqrt{7}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$x = \frac{20 \pm 8 \sqrt{7}}{- 8}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 8 \sqrt{7}}{- 8}$ .

$x = \frac{5 \pm 2 \sqrt{7}}{- 2}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.5.5

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = - 2 x - 1$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 4 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 4 \cdot 3$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 16 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 48}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 48}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.6.1.3

Addiere $400$ und $48$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{448}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $448$ als $8^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 3.6.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $448$ heraus.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{64 (7)}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.6.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{20 \pm 8 \sqrt{7}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

$x = \frac{20 \pm 8 \sqrt{7}}{2 \cdot - 4}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$x = \frac{20 \pm 8 \sqrt{7}}{- 8}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 8 \sqrt{7}}{- 8}$ .

$x = \frac{5 \pm 2 \sqrt{7}}{- 2}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.6.5

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = - 2 x - 1$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}, - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = - 2 x - 1$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}, - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = - 2 x - 1$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 2 x - 1$ durch $- \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$y = - 2 (- \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}) - 1$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}) - 1$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$ in den Zähler.

$y = - 2 \frac{- (5 + 2 \sqrt{7})}{2} - 1$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = 2 (- 1) (\frac{- (5 + 2 \sqrt{7})}{2}) - 1$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \cdot (- 1 \frac{- (5 + 2 \sqrt{7})}{2}) - 1$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.2.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 1 (- (5 + 2 \sqrt{7})) - 1$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = - 1 (- (5 + 2 \sqrt{7})) - 1$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 (5 + 2 \sqrt{7}) - 1$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $5 + 2 \sqrt{7}$ mit $1$ .

$y = 5 + 2 \sqrt{7} - 1$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = 5 + 2 \sqrt{7} - 1$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$y = 4 + 2 \sqrt{7}$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = 4 + 2 \sqrt{7}$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = 4 + 2 \sqrt{7}$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = 4 + 2 \sqrt{7}$

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 2 x - 1$ durch $- \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$y = - 2 (- \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}) - 1$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}) - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$ in den Zähler.

$y = - 2 \frac{- (5 - 2 \sqrt{7})}{2} - 1$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = 2 (- 1) (\frac{- (5 - 2 \sqrt{7})}{2}) - 1$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \cdot (- 1 \frac{- (5 - 2 \sqrt{7})}{2}) - 1$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 1 (- (5 - 2 \sqrt{7})) - 1$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = - 1 (- (5 - 2 \sqrt{7})) - 1$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 (5 - 2 \sqrt{7}) - 1$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $5 - 2 \sqrt{7}$ mit $1$ .

$y = 5 - 2 \sqrt{7} - 1$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = 5 - 2 \sqrt{7} - 1$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$y = 4 - 2 \sqrt{7}$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = 4 - 2 \sqrt{7}$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = 4 - 2 \sqrt{7}$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

$y = 4 - 2 \sqrt{7}$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}, 4 + 2 \sqrt{7})$

$(- \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}, 4 - 2 \sqrt{7})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}, 4 + 2 \sqrt{7}), (- \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}, 4 - 2 \sqrt{7})$

Gleichungsform:

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{7}}{2}, y = 4 + 2 \sqrt{7}$

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{7}}{2}, y = 4 - 2 \sqrt{7}$

Schritt 8