Algebra Beispiele

$x \sqrt{x} = \frac{1}{8}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(x \sqrt{x})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(\frac{1}{8})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{8}$ an.

$x^{3} = \frac{1^{2}}{8^{2}}$

Schritt 2.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{3} = \frac{1}{8^{2}}$

Schritt 2.3.1.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x^{3} = \frac{1}{64}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{1}{64}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - \frac{1}{64} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{64}$ als ${(\frac{1}{4})}^{3}$ um.

$x^{3} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 0$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = \frac{1}{4}$ .

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + x (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1^{2}}{4^{2}}) = 0$

Schritt 3.2.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{4^{2}}) = 0$

Schritt 3.2.3.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - \frac{1}{4} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Schritt 3.4

Setze $x - \frac{1}{4}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - \frac{1}{4}$ gleich $0$ .

$x - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $\frac{1}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 3.5

Setze $x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16}$ gleich $0$ .

$x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Multipliziere mit dem Hauptnenner $16$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x^{2} + 16 (\frac{x}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$16 x^{2} + 4 (4) (\frac{x}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Schritt 3.5.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 x^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{x}{4})) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Schritt 3.5.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$16 x^{2} + 4 x + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 x^{2} + 4 x + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Schritt 3.5.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Schritt 3.5.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5.2.3

Setze die Werte $a = 16$ , $b = 4$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Schritt 3.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.5.2.4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 3.5.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 3.5.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16}) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$