Algebra Beispiele

$2^{2 + x} \cdot 3^{x} = \frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (2^{2 + x} \cdot 3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Schritt 2

Schreibe $\ln (2^{2 + x} \cdot 3^{x})$ als $\ln (2^{2 + x}) + \ln (3^{x})$ um.

$\ln (2^{2 + x}) + \ln (3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (2^{2 + x})$ durch Herausziehen von $2 + x$ aus dem Logarithmus.

$(2 + x) \ln (2) + \ln (3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Schritt 5

Schreibe $\ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$ als $\ln (\frac{2}{3}) + \ln (6^{3 x - 1})$ um.

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (\frac{2}{3}) + \ln (6^{3 x - 1})$

Schritt 6

Schreibe $\ln (\frac{2}{3})$ als $\ln (2) - \ln (3)$ um.

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + \ln (6^{3 x - 1})$

Schritt 7

Zerlege $\ln (6^{3 x - 1})$ durch Herausziehen von $3 x - 1$ aus dem Logarithmus.

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \ln (2) + x \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Schritt 8.1.2

Bewege $2 \ln (2)$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + (3 x - 1) \ln (6)$

Schritt 8.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + 3 x \ln (6) - 1 \ln (6)$

Schritt 8.2.2.2

Schreibe $- 1 \ln (6)$ als $- \ln (6)$ um.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + 3 x \ln (6) - \ln (6)$

Schritt 8.2.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{\frac{2}{3}}{6})$

Schritt 8.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6})$

Schritt 8.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (3)})$

Schritt 8.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3})$

Schritt 8.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 8.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{3 \cdot 3})$

Schritt 8.2.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Schritt 8.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Vereinfache $2 \ln (2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (2^{2}) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Schritt 8.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.1.1

Vereinfache $3 \ln (6)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = x \ln (6^{3}) + \ln (\frac{1}{9})$

Schritt 8.4.1.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = x \ln (216) + \ln (\frac{1}{9})$

Schritt 8.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) - x \ln (216) - \ln (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 8.6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (\frac{4}{\frac{1}{9}}) = 0$

Schritt 8.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (4 \cdot 9) = 0$

Schritt 8.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (36) = 0$

Schritt 8.8

Subtrahiere $\ln (36)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Schritt 8.9

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216)$ heraus.

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Schritt 8.9.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2)$ heraus.

$x (\ln (2)) + x \ln (3) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Schritt 8.9.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Schritt 8.9.3

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (216)$ heraus.

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Schritt 8.9.4

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (2)) + x (\ln (3))$ heraus.

$x (\ln (2) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Schritt 8.9.5

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (2) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (216))$ heraus.

$x (\ln (2) + \ln (3) - 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Schritt 8.10

Schreibe $- 1 \ln (216)$ als $- \ln (216)$ um.

$x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$

Schritt 8.11

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$ durch $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ und vereinfache.

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Schritt 8.11.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$ durch $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ .

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216))}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)} = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Schritt 8.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ .

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Schritt 8.11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216))}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)} = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Schritt 8.11.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Schritt 8.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Dezimalform:

$x = 1$