Algebra Beispiele

${(\frac{a^{3} b^{4}}{a^{2} b})}^{6} = a^{x} b^{y}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{3} b^{4}}{a^{2} b})}^{6}$ um.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{3} b^{4}}{a^{2} b})}^{6}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{a^{3} b^{4}}{a^{2} b}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{3} b^{4}$ heraus.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{2} (a b^{4})}{a^{2} b})}^{6}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{2} b$ heraus.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{2} (a b^{4})}{a^{2} (b)})}^{6}$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{2} (a b^{4})}{a^{2} b})}^{6}$

Schritt 2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a b^{4}}{b})}^{6}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{a b^{4}}{b}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $b$ aus $a b^{4}$ heraus.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{b (a b^{3})}{b})}^{6}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $b$ mit $1$ .

$a^{x} b^{y} = {(\frac{b (a b^{3})}{b^{1}})}^{6}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $b$ aus $b^{1}$ heraus.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{b (a b^{3})}{b \cdot 1})}^{6}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{b (a b^{3})}{b \cdot 1})}^{6}$

Schritt 2.2.5

Forme den Ausdruck um.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a b^{3}}{1})}^{6}$

Schritt 2.3

Dividiere $a b^{3}$ durch $1$ .

$a^{x} b^{y} = {(a b^{3})}^{6}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $a^{x} b^{y} = {(a b^{3})}^{6}$ durch $b^{y}$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $a^{x} b^{y} = {(a b^{3})}^{6}$ durch $b^{y}$ .

$\frac{a^{x} b^{y}}{b^{y}} = \frac{{(a b^{3})}^{6}}{b^{y}}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b^{y}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{x} b^{y}}{b^{y}} = \frac{{(a b^{3})}^{6}}{b^{y}}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $a^{x}$ durch $1$ .

$a^{x} = \frac{{(a b^{3})}^{6}}{b^{y}}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $a b^{3}$ an.

$a^{x} = \frac{a^{6} {(b^{3})}^{6}}{b^{y}}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(b^{3})}^{6}$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{x} = \frac{a^{6} b^{3 \cdot 6}}{b^{y}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$a^{x} = \frac{a^{6} b^{18}}{b^{y}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $b^{18}$ und $b^{y}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $b^{y}$ aus $a^{6} b^{18}$ heraus.

$a^{x} = \frac{b^{y} (a^{6} b^{18 - y})}{b^{y}}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$a^{x} = \frac{b^{y} (a^{6} b^{18 - y})}{b^{y} \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a^{x} = \frac{b^{y} (a^{6} b^{18 - y})}{b^{y} \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a^{x} = \frac{a^{6} b^{18 - y}}{1}$

Schritt 3.3.2.2.4

Dividiere $a^{6} b^{18 - y}$ durch $1$ .

$a^{x} = a^{6} b^{18 - y}$

Schritt 4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (a^{x}) = \ln (a^{6} b^{18 - y})$

Schritt 5

Zerlege $\ln (a^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (a) = \ln (a^{6} b^{18 - y})$

Schritt 6

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 6.1

Schreibe $\ln (a^{6} b^{18 - y})$ als $\ln (a^{6}) + \ln (b^{18 - y})$ um.

$x \ln (a) = \ln (a^{6}) + \ln (b^{18 - y})$

Schritt 6.2

Zerlege $\ln (a^{6})$ durch Herausziehen von $6$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (a) = 6 \ln (a) + \ln (b^{18 - y})$

Schritt 6.3

Zerlege $\ln (b^{18 - y})$ durch Herausziehen von $18 - y$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (a) = 6 \ln (a) + (18 - y) \ln (b)$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (a) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b) - y \ln (b)$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (a) - 6 \ln (a) - 18 \ln (b) + y \ln (b) = 0$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Addiere $6 \ln (a)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (a) - 18 \ln (b) + y \ln (b) = 6 \ln (a)$

Schritt 9.2

Addiere $18 \ln (b)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (a) + y \ln (b) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b)$

Schritt 9.3

Subtrahiere $y \ln (b)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (a) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b) - y \ln (b)$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (a) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b) - y \ln (b)$ durch $\ln (a)$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (a) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b) - y \ln (b)$ durch $\ln (a)$ .

$\frac{x \ln (a)}{\ln (a)} = \frac{6 \ln (a)}{\ln (a)} + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (a)$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (a)}{\ln (a)} = \frac{6 \ln (a)}{\ln (a)} + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Schritt 10.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6 \ln (a)}{\ln (a)} + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (a)$ .

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Schritt 10.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{6 \ln (a)}{\ln (a)} + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Schritt 10.3.1.1.2

Dividiere $6$ durch $1$ .

$x = 6 + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Schritt 10.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 6 + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} - \frac{y \ln (b)}{\ln (a)}$